【摘要】:证明:在本章和下一章的理论模型构建中,还将涉及布朗运动B在某个区间[0,T]上的最大值和最小值,并利用它们来分析企业的违约风险。定义6.2令B=0,若Tx=inf{t>0,x>0,B=x},则称Tx为布朗运动B首次到达x的时间。
在对资本结构进行分析以及对各种复杂金融工具进行定价时,经常需要进行测度变换,而在测度变换时又常会用到Girsanov定理,该定理的主要内容如下[1]:
其中,Φ(·)为标准正态分布函数。
证明:
在本章和下一章的理论模型构建中,还将涉及布朗运动B(t)在某个区间[0,T]上的最大值和最小值,并利用它们来分析企业的违约风险。
定义6.2 令B(0)=0,若Tx=inf{t>0,x>0,B(t)=x},则称Tx为布朗运动B(t)首次到达x的时间。显然有{Tx≤T}={M(T)≥x}。
复杂期权和金融资产的定价中还经常会用到布朗运动B(t)最大值和最小值的概率分布和联合概率分布,与本书研究相关的定理如下:
所以,
根据布朗运动反射性原理[2]可知:P(B(t)-B(Tx)≥
因此,对任意的x>0有:
同理可证,对任意的x<0有:(www.xing528.com)
证明:假设x≥0,因为{M(t)≥x}={Tx≤t},因此由定理6.3可知:上式两边同时对t求导即可得:
当x<0时同理可得:
因此有:
定理6.5 布朗运动B(t)与m(t)及M(t)的联合密度函数。
(1)当y≥0,x≤y时,布朗运动B(t)与M(t)的联合概率分布为:
(2)当y≤0,x≥y时,布朗运动B(t)与m(t)的联合密度函数为:证明:(1)对于y≥0,x≤y时,令:
对上式两边求导后可得B(t)与M(T)的联合密度函数为:
(2)当y≤0,x≥y时,令:
对上式两边求导后,可得B(t)与m(T)的联合密度函数为:
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