相关数学的定义和定理

在对资本结构进行分析以及对各种复杂金融工具进行定价时，经常需要进行测度变换，而在测度变换时又常会用到Girsanov定理，该定理的主要内容如下^[1]:

其中，Φ(·)为标准正态分布函数。

证明:

在本章和下一章的理论模型构建中，还将涉及布朗运动B(t)在某个区间[0，T]上的最大值和最小值，并利用它们来分析企业的违约风险。

定义6.2　令B(0)＝0，若Tx＝inf{t＞0，x＞0，B(t)＝x}，则称Tx为布朗运动B(t)首次到达x的时间。显然有{Tx≤T}＝{M(T)≥x}。

复杂期权和金融资产的定价中还经常会用到布朗运动B(t)最大值和最小值的概率分布和联合概率分布，与本书研究相关的定理如下:

所以，

根据布朗运动反射性原理^[2]可知:P(B(t)-B(Tx)≥

因此，对任意的x＞0有:

同理可证，对任意的x＜0有:(www.xing528.com)

证明:假设x≥0，因为{M(t)≥x}＝{Tx≤t}，因此由定理6.3可知:上式两边同时对t求导即可得:

当x＜0时同理可得:

因此有:

定理6.5　布朗运动B(t)与m(t)及M(t)的联合密度函数。

(1)当y≥0，x≤y时，布朗运动B(t)与M(t)的联合概率分布为:

(2)当y≤0，x≥y时，布朗运动B(t)与m(t)的联合密度函数为:证明:(1)对于y≥0，x≤y时，令:

对上式两边求导后可得B(t)与M(T)的联合密度函数为:

(2)当y≤0，x≥y时，令:

对上式两边求导后，可得B(t)与m(T)的联合密度函数为: