点扩散函数：图像失焦背后的全部特征

现在，我们来研究失焦所引起的图像模糊过程。此时，聚焦在图像上的每一个“点”，都相应地“扩散”成了一个“光斑”。这个光斑的亮度取决于两个因素：1)聚焦“点”(i,j)处的亮度fi,j，2)“光斑”的能量分布h(x,y)（总能量为一个单位）。能量分布函数h(x,y)所描述的单位能量的“光斑”是由：（单位能量的）聚焦“点”经过“扩散”而成的，因此，又被称为点扩散函数。对于图像失焦，点扩散函数h(x,y)的形状是一个“小圆柱体”，如图9.2所示。

于是，(i,j)处的聚焦“点”所对应的“光斑”为：

而最终生成的失焦图像g(x,y)就是所有光斑的叠加结果，也就是说，对式(9.1)中的i和j进行求和，

注意，g(x,y)是一张连续图像（例如胶片），而我们现在所熟悉和常见的是数字图像。我们只需稍加处理，令x和y只取整数k和l，即可得到相应的（数字）失焦图像g={gk,l}，也就是说，

其中h={hk,l}是（连续）点扩散函数h(x,y)的离散形式，我们也将其称为点扩散函数。此时，对应的“光斑”是由多个像素点拼接而成的。于是，我们可以将图像失焦的过程总结如下：

失焦图像的形成包括两个子过程：1)“光斑”的形成，2)“光斑”的叠加。这两个过程分别对应于两个问题：

1.对于某一个“光斑”，哪些像素“点”受到了它的影响？

2.对于某一个像素“点”，哪些“光斑”影响到了它？

上面两个问题之间是一种对偶关系，如图9.3所示。点扩散函数h={hk,l}给出的第一个问题的答案，如图9.3(a)所示。要灰度第二个问题，我们需要根据：给定像素“点”(k,l)与“光斑”中心点(i,j)之间的相对位置(ki,lj)，然后，通过hk-i,l-j来分析“光斑”对像素“点”的影响，如图9.3(b)所示。

正如我们在上一章中所介绍的，式(9.3)所描述的图像失焦过程是一个二维卷积过程。失焦图像g也被称为：f和h的卷积。不难看出，式(9.3)所描述的是一个线性移不变系统。如果我们将αf1+βf2代入式(9.3)中，其结果为αg1+βg2。这里，g1是指：当输入为f1时，系统(9.3)的输出结果；而g2是指：当输入为f2时，系统的输出结果。同样容易验证的是，将{fi-a,j-b}代入式(9.3)中，系统的输出结果为{gk-a,l-b}。(www.xing528.com)

对于一个系统，如果其系统响应可以被表示成一个卷积的形式，那么，该系统是一个线性移不变系统。反之亦然，也就是说，任何一个线性移不变系统都可以被表示为一个卷积。事实上，我们前面对图像失焦的分析，就是从一个线性移不变系统推导出卷积形式的过程。因此，我们得到了一个重要结论：线性移不变系统对应于一个卷积！我们用符号*来表示卷积，于是，式(9.3)可以被简写为：

对于一个线性移不变系统，我们总是可以用一个点扩散函数h={hi,j}来对其进行表示。通过点扩散函数h，我们可以计算出：系统对任意输入f={fi,j}的（输出）响应。点扩散函数表述了一个线性移不变系统的全部特征。

图9.3　失焦图像的形成包括两个子过程：1)“光斑”的形成，2)“光斑”的叠加。(a)对于“光斑”的形成过程，我们需要回答的问题是：对于某一个“光斑”，哪些像素“点”受到了它的影响？(b)对于“光斑”的叠加过程，我们需要回答的问题是：对于某一个像素“点”，哪些“光斑”影响到了它？

正如我们在上一章中所分析的：卷积满足交换律，也就是说，

此外，卷积满足结合律，也就是说，

因此，我们可以考虑：将两个点扩散函数分别为h1和h2的系统级联在一起，也就是说，

如果输入矩阵为f，那么第一个系统的输出为h1*f；然后，我们用第一个系统的输出来作为第二个系统的输入，于是，第二个系统的输出为h2*(h1*f)。由于卷积满足结合律，也就是说，h2*(h1*f)=(h2*h1)*f，因此，最终得到的结果等价于：将f输入一个点扩散函数为h1*h2的系统，也就是说，