直线上的点及其投影属性

1.从属性

直线上的点的投影，必定在该直线的同名投影上;反之，若一个点的各面投影都在直线的同名投影上，则此点一定在该直线上。

图2-16　直线上的点

如图2-16所示，如果点K 在直线AB 上，则k在ab上，k′在a′b′上，k″在a″b″上;反之，如果k在ab 上，k′在a′b′上，k″在a″b″上，则可以判定点K 在直线AB 上。

2.定比性

直线上的点将直线分为几段，各线段长度之比等于它们的同面投影长度之比;反之，若点的各投影分线段的同面投影长度之比相等，则此点在该直线上。

如图2-16 所示，如果点K 在直线AB 上，则AK∶KB＝ak∶kb＝a′k′∶k′b′＝a″k″∶k″b″;反之，如果AK∶KB＝ak∶kb＝a′k′∶k′b′＝a″k″∶k″b″，则可以判定点K 在直线AB 上。

典型案例

【案例1】　已知点A 的两面投影[图2-17(a)]，正平线AB＝20mm，且α＝30°，作出直线AB 的三面投影。

【分析】　已知点A 的H 面和V 面投影可以作出点A 的W 面投影;已知AB 为一条正平线，正平线的投影特性为在V 面反映实长的斜线，且斜线与OX 轴的夹角α为30°，H 面投影和W 面投影分别为垂直于OYH 轴和OYW 轴的两条直线。

【作图】　作图方法如图2-17(b)所示。

(1)过点a′作a′b′与OX 轴成30°角，且量取a′b′＝20mm;

(2)过点a作ab//OX 轴，由点b′作投影连线，确定点b;

(3)由ab和a′b′作出a″b″。

图2-17　作直线AB 的三面投影

【案例2】　已知直线EF 和点K 的两面投影(图2-18)，判断点K 是否在直线EF 上。(www.xing528.com)

图2-18　直线EF 和点K 的两面投影

【分析】　方法一:根据点在直线上从属性的投影特性，点K 的正面投影和水平面投影都符合从属性的投影特性，所以，只要作出点K 和直线EF 的侧面投影，如果k″在直线e″f″上，则可以判定点K 在直线EF 上。

方法二:根据点在直线上定比性的投影特性，只要图中投影满足ek∶kf＝e′k′∶k′f′，则可以判定点K 在直线EF 上。

【作图】　作图方法如图2-19所示。

图2-19　判断点K 是否在直线EF 上

(a)方法一;(b)方法二

实际演练

1.已知直线的两面投影， 求作第三面投影， 并填空。

直线AB 是__________线， H 面投影具有___________性;

直线CD 是___________线， H 面投影具有___________性;

直线EF 是___________线， H 面投影具有___________性。

2.已知水平线AB， 点B 在点A 的左前方，β＝30°， 实长为30mm， 求作直线AB 的三面投影。

3.已知AB 的两面投影， 试在AB 上找到一点C， 使其将AB 分为3∶2。