一阶系统的特性参数是时间常数τ,二阶系统的特性参数是固有角频率ωn与阻尼比ζ。如果得知这些特性参数的值,就能建立系统的数学模型。若已知测量系统的数学模型,通过适当数学运算,就可以推算出系统对任一输入的输出响应。尽管这种特性参数取决于系统本身固有属性,可以由理论设定,但最终必须由实验测定,称为动态标定。为了便于统一比较与容易获得,标定时通常选用两种形式的输入信号:正弦信号与阶跃信号。测量系统动态特性的表述也相应有两种形式:第一种是频率特性,系统在正弦信号激励下,稳态输出时的幅值-频率和相位-频率的关系;第二种是时域特性,即阶跃响应特性,即系统对阶跃输入的响应(输出)特性。前者较多用于电量作为输入量的系统中,因为正弦信号激励下的频率响应函数较易测得;后者多用于温度、压力等非电量作为输入量的系统,因为获取随时间作阶跃规律变化的非电量信号比作正弦规律变化的非电量信号要容易得多。
1.频率特性与特征参数
式(8-57)和式(8-61)中的K为系统直流放大倍数,是常数,它不影响系统的动态特性。为分析方便起见,做归一化处理,令K=1。
(1)一阶系统
1)频率特性
当K=1时
相频特性 φ(ω)=-arctanωτ (8-63)
由图8-15与图8-16可见,一阶系统频率特性具有下列特点:
①当时,|H(ω)|接近于1,输入、输出幅值几乎相等,L=20lg|H(ω)|≈0。
②当时,|H(ω)|=0.707(-3dB),φ=45°。点称为转折频率。时间常数τ是反映一阶系统特性的重要参数。
③时,当ω增大时,|H(ω)|减小,工作频率ω增大10倍,|H(ω)|减小20dB。处的模是的。
图8-15 一阶系统频率特性
a)幅频特性 b)相频特性
图8-16 一阶系统的对数幅频特性
2)动态误差
系统动态幅值误差定义为
式中,|H(jω)|为测量系统频率特性的模;|HN(jω)|为理想频率特性的模。
动态相位绝对误差为 Δφ=φ(ω)-φN(ω) (8-65)
式中,φ(ω)为测量系统相频特性;φN(ω)为理想相频特性。
对于执行信号传递功能的一阶系统,其理想(无失真)频率特性的模为
|HN(jω)|=const=|H(0)| (8-66)
式中,|H(0)|为ω=0时的一阶测量系统的直流放大倍数,为一常量。
将式(8-62)代入式(8-64),可得一阶系统动态幅值误差表达式为
式中,τ为一阶系统时间常数;为一阶系统的转折(截止)角频率;ω为信号角频率。
由于φN(ω)=0,故相位误差的表达式(8-65)就是一阶系统的相频特性,即式(8-63)。
信号频率与一阶系统转折频率之比(f/fτ=ω/ωτ)与动态幅值误差γ的关系可由式(8-67)计算出,其数值列入表8-2中。
表8-2 一阶系统动态误差γ与f/fτ的关系
通常用fτ(ωτ/2π)转折频率表征测量系统的通频带,实际上当信号频率f=fτ时,动态幅值误差已达-29.3%,也就是幅值已衰减3dB。一般测量系统的工作频带是指动态幅值误差|γ|=5%或10%的信号范围,此时允许频率比f/fτ=0.3或0.5,此时相位误差已达16.7°或者26.6°。
(2)二阶系统
1)频率特性
当K=1时
幅频特性
相频特性
对数幅频特性
其幅频和相频特性如图8-17所示,二阶系统频率特性的重要参数是固有角频率ωn和阻尼比ζ,频率特性的特点是:
①低频段:,L≈0dB。
②高频段:,。信号频率ω每增大10倍,模|H(ω)|或输出正弦信号的模|Y(ω)|下降40dB。
③ω=ωn时,L=-20lg2ζ,系统幅频特性的幅值完全取决于ζ。
图8-17 二阶系统频率特性
a)对数幅频特性 b)相频特性
④存在谐振频率,当ζ<0.707,信号频率等于谐振频率(ω=ωn)时,系统发生共振;当ζ>0.707时,系统无谐振,频率特性的模|H(ω)|随ω的增加而减小。
2)动态误差。对于执行传递信号功能的二阶系统,其理想频率特性的模为
|HN(jω)|=const=|H(0)| (8-71)(www.xing528.com)
式中,|H(0)|为ω=0时,二阶测量系统的直流放大倍数,为一常量。
根据式(8-64),并考虑到式(8-68)和式(8-71),得二阶系统动态幅值误差表达式为
式中,ωn为二阶系统固有角频率;ζ为阻尼比。
相位误差的表达式就是二阶系统的相频特性,即
式(8-72)建立了测量系统特征参数ωn、ζ与信号频率ω、动态误差γ的关系。根据式(8-72)可以计算出不同频率比ω/ω0、不同阻尼比ζ时的动态误差γ。将|γ|<10%的部分数值列入表8-3中,可见,当ζ=0.6~0.8时二阶系统的工作频带最宽,但在一般情况下,生产厂家只提供测量系统的特征参数ω0,用户不知ζ的数值,这时只能按最坏情况ζ=0时的ω/ω0比值估计动态幅值误差γ,其数值关系表见表8-4。
表8-3 二阶系统动态误差γ与ω/ω0,ζ的关系
表8-4ζ=0时γ与ω/ω0的关系
2.时域特性与特性参数
(1)一阶系统
1)阶跃响应的时域特性与特性参数。当系统输入阶跃信号x(t)时,有
式(8-55)微分方程的解y(t)数学表达式为
可见y(t)为一指数曲线,如图8-18所示。初始值y(0)=0,随时间t的增加而增大,最终t=∞时趋于阶跃输入值A,y(∞)=A(直流放大倍数K=1时)。如果系统的τ值越大,y(t)曲线趋近最终值A的时间越长,表示系统对阶跃输入信号响应慢;τ值越小,系统响应速度越快,故τ值反映系统的响应速度。
图8-18 一阶系统的阶跃响应
2)动态误差。由式(8-74)可见,t在0至∞的时间范围内,输出值y(t<∞)与最终值y(∞)=A总存在着误差γ,称为系统过渡过程的动态误差,有
根据式(8-74)和式(8-75)可计算出当t=(1~7)τ的y(t)/A值和动态误差γ,见表8-5。
表8-5y(t)/A值、动态误差γ与t的关系
时间常数τ是一阶系统的一个特征参数,当t=τ时y(t=τ)=0.632A,若系统的τ值已确定,通常应根据动态误差的要求来决定系统所需的响应时间tr。
(2)二阶系统
1)阶跃响应特性。当输入信号x(t)为阶跃信号时,通过求解二阶系统的数学模型[见式(8-59)],可以得到输出响应y(t)如图8-19所示,其数学表达式(在0<ζ<1时,为欠阻尼情况)为
由此表明,y(t)为两项之和:稳态响应KA加上暂态响应衰减振荡,其振荡角频率ωd称为有阻尼自然振荡角频率,幅值按指数规律衰减。ζ越大,衰减越快,ζ=0为一等幅振荡。
在ζ=1时,为临界阻尼情况,y(t)也为两项之和:KA加一项单调的衰减项,系统无振荡。
在ζ>1时,为过阻尼情况,y(t)也由稳态项KA与暂态响应项构成,暂态响应包括两个衰减的指数项,但其中一个衰减很快可以忽略不计,故也无振荡。一般工程中常将ζ>1的二阶系统近似按一阶系统对待。
2)阶跃响应时域特性参数(时域指标)及动态误差。图8-19所示二阶系统阶跃响应特性的时域指标有如下四个:
①有阻尼自然振荡角频率为
有阻尼自然振荡周期为Td,且ωd=2π/Td。
②绝对超调量M(t)=y(t)-y(∞);
相对超调量σ(t)为
此式表示二阶系统的动态误差(时域指标)。
图8-19 二阶系统的阶跃响应
③峰值时间tp及最大超调量σ(tp)。
令,可求得,将tp值代入式(8-78)后得最大超调量为
④阻尼系数ζ与系统固有频率ωn。
由式(8-79)得到
于是可求得
从动态标定实验中,获得数据y(t)后,从数据中求出阶跃响应特性的特征量ωd、峰值时间tp、最大超调量σ(tp)。通过式(8-80)、式(8-81)就可进一步计算出二阶系统的特性参数ζ与ωn。
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