如何定义系统的极点？

首先，让我们回顾一下拉氏域单自由度系统的传递函数：

上式右端的分母叫作系统特征方程，它的根，即系统极点为

临界阻尼c_c，定义为使上式中根式项等于零的阻尼值，即

Ω₁称为无阻尼固有频率。对于现实世界中的系统而言，系统的实际阻尼比很少有大于10%的，除非这些系统含有很强的阻尼机制，如减振器。因此，在这里进一步讨论的系统都是欠阻尼系统（ζ<1）。从上面的公式，可以看出，这两个根是复数共轭的。对于欠阻尼系统而言，特征方程的根也可以写成

λ₁=σ₁+jω₁λ₁∗=σ₁-jω₁

式中，σ₁为阻尼因子，ω₁为有阻尼固有频率。特征方程的根也可以写为

阻尼因子σ₁定义为特征方程根的实部，描述了信号的指数衰减，国内常称阻尼因子为衰减系数。这个参数同特征方程根的虚部有相同的单位：rad/s。阻尼比ζ是系统实际阻尼与临界阻尼之比，阻尼比是无量纲：

知道了系统极点之后，可以用部分分式的形式写出单自由度系统的传递函数：

传递函数是复值函数，所以函数的根将是两个变量σ和ω的函数，这两个变量分别为这个根的实部和虚部，分子称为系统传递函数的留数。这两个变量在拉氏域代表了一个变化的平面（复平面），又因为传递函数是复数，因此，可以用实部与虚部或幅值与相位（线性）来表示，如图5-37和图5-38所示。(www.xing528.com)

图5-37 传递函数的实部与虚部

a）实部 b）虚部

图5-38 传递函数的幅值与相位

a）幅值 b）相位

图5-37和图5-38都是关于平面ω=0对称的，这是因为特征方程的根是复数共轭的。在此我们以幅值为例来说明极点（其他的类似），在幅值图中你可以看到有两个明显的极值点（两个是因为共轭），难道正是因为使传递函数达到极值对应的S_p才称为极点吗？你的理解一定程度上是正确！在S_p点，传递函数有极值，但是，实质上的极值是无穷大或者说不能确定传递函数的值，因为实际上传递函数在这一点是没有定义的。极点的概念来源于复变函数，有关极点详情可参考复变函数相关的书籍（留数也相同）。

传递函数的两个变量（σ和ω）在整个复平面上取值，而频响函数的变量只有ω，因此，频响函数仅沿虚轴估计，也就是σ=0。也就是说系统传递函数的幅值沿jω轴估计，并且将其投影到沿jω轴的切片平面上，之后我们将得到频响函数。有一点需要注意，我们说频响函数在σ=0估计，并不是真的说阻尼是0，而是说频响函数沿频率jω轴估计。这个域就是所谓的傅里叶域，也就是说拉氏域是傅里叶域的一般形式。在傅里叶域，单自由度系统的频响函数表示为

在傅里叶域，频响函数的实部与虚部或幅值与相位（实质是传递函数在σ=0平面的切片），如图5-39和图5-40所示。而在模态分析过程中，第一步是确定系统极点，实际上就是确定模态参数：频率和阻尼。因此，系统极点包含系统的频率和阻尼信息。

图5-39 频响函数的实部与虚部

图5-40 频响函数的幅值与相位