奇点与极限环的探究

绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性，由于系统的平衡点有无穷条相轨迹离开或到达，因此，平衡点附近的相轨迹，最能反映系统的运动特性。我们把平衡点又称为奇点。另一反映系统运动特性的相轨迹是所谓极限环，它是相平面上一条孤立的封闭的相轨迹，反映了系统的自激振荡状态。它将无穷大的相平面分为两个部分，有利于与奇点特性一起分析系统的运动特性，为此，在下面予以详细讨论。

（1）奇点

由前所述，奇点即为系统平衡点，它由方程组

联立求解得到（x10，x20）。

为了研究奇点附近相轨迹的形状及运动特性，将P（x1，x2），Q（x1，x2）在平衡点附近展开成台劳级数。

忽略高阶无穷小，考虑一般情况令x10＝x20＝0，则有

令

则有

系统特征方程

特征方程的根为

根据特征方程根的性质，可将奇点分为如下几种情况。

①同号相异实根此时（a＋d）2＞4（ad－bc），若特征方程的根同为负实根（即a＋d＜0），则微分方程的解是稳定的。此时奇点称为稳定的节点，其相轨迹可能形状如图8-28（a）

图8-28 特征方程根为同号相异实根相轨迹

②异号实根此时，ad－bc＜0，一个根大于零，一个根小于零，此时，奇点称为鞍点。相轨迹形状如图8-29所示。所示，若a＋d＞0，特征方程根同为正实根，此时系统不稳定，此时奇点称为不稳定的节点，对应的相轨迹如图8-28（b）所示。

图8-29 鞍点对应的相轨迹

③重根此时，（a＋d）2＝4（ad－bc），若a＋d＜0，则特征方程的根为两个相等的负实根，此时称奇点为退化的稳定节点，相应的相轨迹如图8-30（a）所示。若a＋d＞0，则特征方程的根为两个相等的正实根，此时，奇点称为退化的不稳定节点，对应的相轨迹如图8-30（b）所示。

④共轭复根此时满足条件（a＋d）2＜4（ad－bc），特征方程的根为一对共轭复根，若（a＋d）＜0特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根，对应的相轨迹如图8-31（a）所示，系统产生衰减振荡。此时，奇点称为稳定焦点。若（a＋d）＞0，特征方程的根为一对具正实部的共轭复根，对应的相轨迹如图8-31 （b）所示，此时奇点称为不稳定的焦点，系统产生发散振荡。

图8-30 重根对应的相轨迹

图8-31 共轭复根对应的相轨迹

⑤纯虚根此时，满足条件（a＋d）＝0，（ad－bc）＜0。特征方程的根为一对共轭纯虚根。此时，奇点称为中心点，对应的相轨迹如图8-32所示。系统会产生等幅振荡。

图8-32 虚根对应的相轨迹

（2）极限环

以上讨论了奇点问题，不同的奇点型式，系统在平衡点附近的运动特性不同。对于线性系统来说，奇点附近的运动特性完全确定系统的性能。对于非线性系统来说，奇点的型式，不能确定系统在整个相平面上的运动状态。还需研究相平面上远离平衡点的相轨迹。其中极限环的研究特别有意义。

相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应的系统会产生自激振荡。如图8-33所示。(www.xing528.com)

图8-33 极限环

实际的物理系统中经常会遇到极限环。例如一个不稳定的线性控制系统，它的运动过程是发散振荡。但由于实际系统存在非线性，例如饱和特性，它的振幅不会无限增加，到一定数值后就可能不变了，在相平面图上，与系统自激振荡状态对应的就是极限环。

由于极限环作为相轨迹，它既不趋于平衡点，也不趋于无穷远，而是自成一个封闭的环，所以是相平面图上的一种奇线。它把相平面分隔成内部平面和外部平面，相轨迹不能从内部平面直接穿过极限环而进入外部平面（或者相反）。

极限环有稳定的，不稳定的和半稳定的。

稳定的极限环如图8-34（a）所示。极限环内部的相轨迹和极限环外部的相轨迹都向极限环逼近。

不稳定的极限环如图8-34（b）所示，极限环内面的相轨迹和外部的相轨迹都逐渐远离极限环而去。

半稳定的极限环如图8-34（c）所示。要么内面的相轨迹向极限环逼近，外面的相轨迹远离而去，要么外面的相轨迹向极限环逼近，内部相轨迹远离而去。

将奇点类型的分析和极限环类型的判断，两者结合起来就能对整个系统的运动特性做出分析。

例8-4 已知一非线性系统运动方程

分析系统的运动特性。

解 令

经整理，得到以极坐标变量r和θ描述的运动方程

当x1＝0，x2＝0时，为系统平衡点，下面分析一下该平衡点的类型。

图8-34 极限环的类型

特征方程的根为

由于特征方程的根是一对具有正实部的共轭复根，奇点（0，0）为不稳定焦点，附近相轨迹为发散振荡如图8-35所示。

图8-35

当时，在相平面上为一封闭相轨迹，下面分析一下该分析相轨迹性质。

假定r＜1，取R1，由于

因此，封闭相轨迹内面的相轨迹向单位圆逼近。

假定r＞1，取r＝R2。由式

因此，单位圆外面的相轨迹也向单位圆逼近。

综上所述，单位圆为稳定的极限环。奇点为不稳定的焦点，说明平衡点的运动特性是不稳定的。而单位圆外部相轨迹是向单位圆逼近，振荡幅值会愈来愈小，从这个意义上分析，系统产生的是衰减振荡，且是有界的。