绘制相轨迹的目的是为了分析系统的运动特性,由于系统的平衡点有无穷条相轨迹离开或到达,因此,平衡点附近的相轨迹,最能反映系统的运动特性。我们把平衡点又称为奇点。另一反映系统运动特性的相轨迹是所谓极限环,它是相平面上一条孤立的封闭的相轨迹,反映了系统的自激振荡状态。它将无穷大的相平面分为两个部分,有利于与奇点特性一起分析系统的运动特性,为此,在下面予以详细讨论。
(1)奇点
由前所述,奇点即为系统平衡点,它由方程组
联立求解得到(x10,x20)。
为了研究奇点附近相轨迹的形状及运动特性,将P(x1,x2),Q(x1,x2)在平衡点附近展开成台劳级数。
忽略高阶无穷小,考虑一般情况令x10=x20=0,则有
令
则有
系统特征方程
特征方程的根为
根据特征方程根的性质,可将奇点分为如下几种情况。
①同号相异实根此时(a+d)2>4(ad-bc),若特征方程的根同为负实根(即a+d<0),则微分方程的解是稳定的。此时奇点称为稳定的节点,其相轨迹可能形状如图8-28(a)
图8-28 特征方程根为同号相异实根相轨迹
②异号实根此时,ad-bc<0,一个根大于零,一个根小于零,此时,奇点称为鞍点。相轨迹形状如图8-29所示。所示,若a+d>0,特征方程根同为正实根,此时系统不稳定,此时奇点称为不稳定的节点,对应的相轨迹如图8-28(b)所示。
图8-29 鞍点对应的相轨迹
③重根此时,(a+d)2=4(ad-bc),若a+d<0,则特征方程的根为两个相等的负实根,此时称奇点为退化的稳定节点,相应的相轨迹如图8-30(a)所示。若a+d>0,则特征方程的根为两个相等的正实根,此时,奇点称为退化的不稳定节点,对应的相轨迹如图8-30(b)所示。
④共轭复根此时满足条件(a+d)2<4(ad-bc),特征方程的根为一对共轭复根,若(a+d)<0特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,对应的相轨迹如图8-31(a)所示,系统产生衰减振荡。此时,奇点称为稳定焦点。若(a+d)>0,特征方程的根为一对具正实部的共轭复根,对应的相轨迹如图8-31 (b)所示,此时奇点称为不稳定的焦点,系统产生发散振荡。
图8-30 重根对应的相轨迹
图8-31 共轭复根对应的相轨迹
⑤纯虚根此时,满足条件(a+d)=0,(ad-bc)<0。特征方程的根为一对共轭纯虚根。此时,奇点称为中心点,对应的相轨迹如图8-32所示。系统会产生等幅振荡。
图8-32 虚根对应的相轨迹
(2)极限环
以上讨论了奇点问题,不同的奇点型式,系统在平衡点附近的运动特性不同。对于线性系统来说,奇点附近的运动特性完全确定系统的性能。对于非线性系统来说,奇点的型式,不能确定系统在整个相平面上的运动状态。还需研究相平面上远离平衡点的相轨迹。其中极限环的研究特别有意义。
相平面图上的一根孤立的封闭相轨迹称为极限环。它对应的系统会产生自激振荡。如图8-33所示。(www.xing528.com)
图8-33 极限环
实际的物理系统中经常会遇到极限环。例如一个不稳定的线性控制系统,它的运动过程是发散振荡。但由于实际系统存在非线性,例如饱和特性,它的振幅不会无限增加,到一定数值后就可能不变了,在相平面图上,与系统自激振荡状态对应的就是极限环。
由于极限环作为相轨迹,它既不趋于平衡点,也不趋于无穷远,而是自成一个封闭的环,所以是相平面图上的一种奇线。它把相平面分隔成内部平面和外部平面,相轨迹不能从内部平面直接穿过极限环而进入外部平面(或者相反)。
极限环有稳定的,不稳定的和半稳定的。
稳定的极限环如图8-34(a)所示。极限环内部的相轨迹和极限环外部的相轨迹都向极限环逼近。
不稳定的极限环如图8-34(b)所示,极限环内面的相轨迹和外部的相轨迹都逐渐远离极限环而去。
半稳定的极限环如图8-34(c)所示。要么内面的相轨迹向极限环逼近,外面的相轨迹远离而去,要么外面的相轨迹向极限环逼近,内部相轨迹远离而去。
将奇点类型的分析和极限环类型的判断,两者结合起来就能对整个系统的运动特性做出分析。
例8-4 已知一非线性系统运动方程
分析系统的运动特性。
解 令
当x1=0,x2=0时,为系统平衡点,下面分析一下该平衡点的类型。
图8-34 极限环的类型
特征方程的根为
由于特征方程的根是一对具有正实部的共轭复根,奇点(0,0)为不稳定焦点,附近相轨迹为发散振荡如图8-35所示。
图8-35
当时,在相平面上为一封闭相轨迹,下面分析一下该分析相轨迹性质。
假定r<1,取R1,由于
因此,封闭相轨迹内面的相轨迹向单位圆逼近。
假定r>1,取r=R2。由式
因此,单位圆外面的相轨迹也向单位圆逼近。
综上所述,单位圆为稳定的极限环。奇点为不稳定的焦点,说明平衡点的运动特性是不稳定的。而单位圆外部相轨迹是向单位圆逼近,振荡幅值会愈来愈小,从这个意义上分析,系统产生的是衰减振荡,且是有界的。
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