该方法的基本思想是将非线性振动系统近似地用等效的线性振动系统来代替,然后求解。等效线性系统的刚度系数和阻尼系数,可根据振动一个周期内所消耗的能量相等以及恢复力做虚功相等条件求得,并把一个周期内的运动近似地视作简谐运动。下面以单自由度系统为例介绍等线性法(Equivalent Linear Method)。
设单自由度非线性自由振动方程为
式中:表示非线性恢复力和阻尼力。
设所要代之的等效线性系统的振动方程为
式中:和都是常数,分别称为等效刚度系数和等效阻尼系数。系统在一个周期内的振动,近似地假设为简谐运动
令式(6-24)和式(6-25)所代表的振动在一个周期内的能量消耗相等
将式(6-26)代入上式得
所以得
再令式(6-24)和式(6-25)所代表的振动在一个周期内弹性恢复力做的功相等
式中:,由式(6-26)得y(t1)=-Aω1cosφ,代入上式得(www.xing528.com)
所以
从式(6-27)、式(6-28)求出和后,就可用等效线性方程(6-25)计算振动周期T了。以式(6-27)和式(6-28)可以看到,和都是振幅A 的函数,所以自振周期不是常数。
【例3】单自由度无阻尼自由振动方程为,已知初始位移为x0,初始速度为零,求自振周期T。
【解】近似地设x(t)=x0cosω1t=x0cosφ,由式(6-28)得
于是可求自振周期
本例为一定条件下的近似解。这种求近似解的方法适用于比较接近线性的非线性问题,通常称之为“准线性体系”,又称“拟线性体系”。
【例4】单自由度有阻尼非线性自由振动方程为。设初始位移x0=A,初始速度为零,试求系统的振幅随时间变化的规律。
【解】根据方程式(6-24)有,近似地设x=A cosω1t=A cosφ,由式(6-27)和式(6-28)得
因此按照黏性阻尼理论,振幅随时间的变化规律为。
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