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李兹-伽辽金法: 从理论到实践

时间:2023-06-27 理论教育 版权反馈
【摘要】:李兹-伽辽金法是一种变分方法,它的基本思想是:选取一组满足一定条件线性独立的已知函数,将它们的线性组合作为微分方程的近似解,然后确定最佳系数。而方程式可理解为作用于单位质量质点上的惯性力、主动力和约束反力构成的平衡力系。设系统产生任意一个虚位移δx,则由虚位移原理得对受到双面、理想约束的系统,约束反力的虚功之和为零,因此它不出现在方程式中。用李兹-伽辽金法求方程的周期解。

李兹-伽辽金法: 从理论到实践

李兹-伽辽金法(Ritz-Galerkin Method)是一种变分方法,它的基本思想是:选取一组满足一定条件(如边界条件或周期性条件等)线性独立的已知函数,将它们的线性组合作为微分方程的近似解,然后确定最佳系数。

方程式(6-80)的非线性函数代表作用于单位质量质点上的主动力和约束反力。而方程式(6-80)可理解为作用于单位质量质点上的惯性力、主动力和约束反力构成的平衡力系。

设系统产生任意一个虚位移δx,则由虚位移原理得

对受到双面、理想约束的系统,约束反力的虚功之和为零,因此它不出现在方程式(6-89)中。在非线性振动中,未知的解x(t)可表示为周期函数的线性组合

式中:qi(t)=qi(t+T),T 为周期,ai为待定系数。一般取qi(t)为正弦或余弦函数,在边值问题中,qi(t)还需满足边界条件。

对式(6-90)求变分

代入方程式(6-89),并在一个周期内取平均值

由δai的任意性,得到M 个方程

对这M 个方程积分,得到关于ai代数方程组,由此解出ai后,也就得到了方程的近似解。(www.xing528.com)

【例10】用李兹-伽辽金法求方程的周期解。

【解】设解为x=a cosωt=a cosφ,代入方程式(6-93)得

积分得

因此,则近似解为

若取二次近似解

代入方程式(6-93)得

对两式积分得

这是两个联立的三次代数方程,可采用数值方法求解。本例中对参数b和c没有任何要求。

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