模糊聚类分析：探索数据间隐含关系

模糊聚类分析在实际问题中有广泛的应用，这是由于实际问题中，一组事物是否属于某一类常带有模糊性，也就是问题的界限不是十分清晰的时候，我们不能明确地回答“是”或“否”，而是只能作出“在某种程度上是”的回答，这就是模糊聚类分析。

本节主要讨论基于模糊等价关系的动态聚类的实际应用。

1.特征抽取

2.建立X上的模糊关系（模糊相似矩阵）

设待分类对象的全体是X=｛X1，X2，…，Xn｝，我们首先要鉴别X中的元素Xi与Xj的接近程度（相似程度）。用［0，1］中的数rij来表示Xi与Xj的相似程度，称为相似系数。相似系数组成一个矩阵（rij）n×n称为相似系数矩阵，它是X上的模糊相似关系.我们对此关系矩阵求其等价闭包或等价类，就能对X中的元素进行聚类。

为了确定相似系数，必须使相似系数符合自反、对称的要求，可根据实际情况选用下列方法之一。

其中M为适当选择的常数，M的选择使rij∈［0，1］。

7）非参数法

令中负数的个数，有

当p=2时，dp就是欧氏距离，此时有

9）经验法

请有经验的人来分别对xi与xj的相似性打分，设有s个人参加评分，若第k个人（1≤k≤s）认为xi与xj相似的程度为（在［0，1］中），他也对自己评分的自信度打分，若自信度分值是，则可以用式（7.6.48）来计算相似系数

在以上确定相似系数的诸多方法中，究竟选用哪一种合适需要根据问题的具体性质来决定。

例7.6.14　环境单元分类问题。

每个环境单元可以包括空气、水分、土壤、作物等四个要素。环境单元的污染状况由污染物在四要素中含量的超限度来描写。

假设有五个单元x1，x2，x3，x4，x5，它们的污染数据如表7.6.6所示。

表7.6.6　污染数据

取论域X=｛x1，x2，x3，x4，x5｝，按式（7.6.30）“规格化”，取c=0.1，再按式（7.6.46）求相似系数（取c=1），得到模糊相似矩阵

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3.聚类

对模糊相似矩阵聚类可以用三种方法。

其动态分类如图7.6.14所示。

图7.6.14　动态聚类图

当λ=1时，分成五类：｛x1｝，｛x2｝，｛x3｝，｛x4｝，｛x5｝。

当λ=0.8时，分成四类：｛x1，x3｝，｛x2｝，｛x4｝，｛x5｝。

当λ=0.6时，分成三类：｛x1，x3｝，｛x2｝，｛x4，x5｝。

当λ=0.5时，分成二类：｛x1，x3，x4，x5｝，｛x2｝。

当λ=0.4时，分成一类：｛x1，x2，x3，x4，x5｝。

2）直接聚类法

根据模糊相似矩阵（7.6.49）来直接由相似类求等价类。

当λ=1时，该矩阵只有对角线上的元素为1，所以不需归相似类，所得到的的等价类为｛x1｝，｛x2｝，｛x3｝，｛x4｝，｛x5｝。

当λ=0.8时，先求经典矩阵R0.8，由此求得它的相似类是

在归并时，找不到与｛x1，x3｝相交的其他等价类，于是的等价类为｛x1，x3｝，｛x2｝，｛x4｝，｛x5｝。

同样λ=0.6时，相似类为R0.6［x1］=｛x1，x3｝，R0.8［x2］=｛x2｝，R0.8［x4］=｛x4，x5｝，也无法再进一步归并，于是的等价类为：｛x1，x3｝，｛x2｝，｛x4，x5｝。

当λ=0.5时，相似类为R0.5［x1］=｛x1，x3，x4｝，R0.5［x2］=｛x2｝，R0.5［x4］=｛x1，x4，x5｝，因此可以把相似类R0.5［x1］与R0.5［x4］归并，得P 1（x1）=R0.5［x1］∪R0.5［x4］=｛x1，x3，x4，x5｝最终得到的的等价类为｛x1，x3，x4，x5｝，｛x2｝。

当λ=0.4时，得到R0.4［x2］=｛x2，x5｝，于是可以和P 1（x1）归并，即P2（x1）=｛x1，x2，x3，x4，x5｝，这就是的等价类。

3）最大树法

从λ=1开始逐步作连通图，直到λ=0时为止，每作一条边，就在边上写出rij之值（连通强度）。注意不要作回路。从原则上来说，可以选择任一元素（顶点）作为起始点，但一般总是选有相似类的元素作为起始点。例如在本例中，当λ=0.8时，就有相似类｛x1，x3｝，于是就把x1选为起始顶点，先作出强度为λ=0.8的边，然后再作强度为0.6的边及强度为0.5和0.4的边，这样就得到最大树，如图7.6.15所示。

图7.6.15　最大树

在不同λ水平上的分类，就是在最大树中砍去那些强度小于λ的边，再分类.例如λ=0.8时，砍掉最大树右边的各枝，显然就得到分类：｛x1，x3｝，｛x2｝，｛x4｝，｛x5｝；而在λ=0.6时，只砍掉强度为0.5和0.4的边，于是得到的分类就是：｛x1，x3｝，｛x2｝，｛x4，x5｝。

应该指出，用模糊等价关系矩阵来分类（或用等价类分类），所依据的矩阵已经不是原来的矩阵了，这样分类必然带来误差。作者在1983年提出应求相似阵的最小距离的传递阵，再依据来分类。