均匀量化的量化噪声功率和信噪比的关系

量化噪声包括过载量化噪声和非过载量化噪声,对二者分别进行讨论。

根据语音信号的统计试验可知,语音信号的幅度x近似符合指数分布,其概率密度函数为

式中,语音信号均值为零,σ2x是语音信号的平均功率。式(8.3.5)所示的概率密度函数如图8.3.4所示。从该特性可以看出,语音信号中弱信号占的比例较大,因此宜采用无零量化电平的图8.3.2所示量化特性的量化器。

图8.3.4　语音信号幅度的概率密度函数

设语音信号的量化区为x∈(-V,V),其间有m个均匀量化间隔,间隔大小Δ=2V/m。当|x|＞V时,为过载区。

1.非过载量化噪声平均功率σ′2

如图8.3.4所示,当信号x落入一量化区间(xi,xi+1)内,量化间隔为Δi=xi+1-xi,取其量化间隔的中值作为量化输出,由此产生的量化误差为x-yi。

令σ2i为信号x在(xi,xi+1)量化间隔内的量化误差的方差,即量化噪声功率为

假设取m≫1(一般都满足)时,量化间隔Δi都很小,因此可以认为,在(xi,xi+1)量化间隔内,概率密度p(x)保持常数,为p(x)=p(xi),所以式(8.3.6)可以表示为

令Pi为信号落在Δi间隔内的概率

将式(8.3.8)代入式(8.3.7)得

由此可以求得,不论是均匀还是非均匀量化都适用的非过载区量化噪声功率为

对于均匀量化,有Δi=

=Δ,为一常数,代入后,上式可以简化为

式中,是信号在非过载区的总概率。如适当选择V,信号过载概率很小,则可以认为,代入上式,则均匀量化的非过载区量化噪声功率为

式(8.3.12)说明均匀量化非过载量化误差的平均功率只与均匀量化间隔的大小Δ有关,而与信号的分布无关,这是均匀量化器的重要特点。

式(8.3.12)还说明均匀量化非过载量化误差的平均功率和量化级数m的平方成反比,也就是说量化级数愈多,量化噪声就愈小,但它只能减小到一定程度而不可能完全消除。另外,它与信号量化的范围V有关,与具体的输入信号的幅度大小无关,即在量化区内任何信号幅度的量化噪声功率都相同。因此,均匀量化存在一个问题,当大信号输入时,量化信噪比大;当小信号输入时,量化信噪比小。

例8.3.1 设输入信号的变化范围是(-a,a),在此范围内对其进行均匀量化,量化级数m=4,求量化器输出的量化噪声平均功率。

解 由式(8.3.12)可以求得量化器输出的量化噪声平均功率为

2.过载量化噪声功率σ″2

如图8.3.4所示,过载量化噪声就是当信号x超出量化区间(-V,V)时产生的量化噪声。在过载区的量化误差应表示为|x|-V,因此,由语音信号幅度的概率密度函数和概率论的基本定理,可以得到过载量化噪声平均功率为

将式(8.3.5)代入式(8.3.13),可求得过载量化噪声平均功率为

由式(8.3.14)可见,语音信号的过载量化噪声功率是随量化范围V指数衰减的函数,当V足够大时,过载量化噪声功率近似为零。

需说明的是,因为是过载区的量化噪声功率,因此它的大小与量化形式无关,即对均匀量化和非均匀量化都是一样的,所不同的是,量化输入信号的分布函数。

3.均匀量化的总量化噪声功率和量化信噪比

(1)均匀量化的总量化噪声功率和输出量化后的信号功率(www.xing528.com)

由式(8.3.12)和式(8.3.14)可以得到,均匀量化的总量化噪声功率为

式中,σ2x由式(8.3.5)可知是语音信号的平均功率S。

当量化级数m很大时,可以近似认为,量化器输出的量化后的信号功率Sq与量化器输入的信号功率S相等,即(2)均匀量化的量化信噪比

由式(8.3.15)和式(8.3.16)可以得到量化器的量化信噪比为

令C=,并且取对数,用dB表示式(8.3.17)为

式中,C表示信号的幅度的相对变化值,m是信号的量化级数。在二进制数字编码中,每个样值所编码组的位数l与量化级数m的关系是

将式(8.3.19)代入式(8.3.18),得

由上式可以画出量化信噪比随l和的变化曲线,如图8.3.5所示。

图8.3.5　量化信噪比随l和C=变化的关系曲线

(3)均匀量化信噪比的讨论

图8.3.5画出的是当l分别等于6、7、8三种情况时的变化曲线,V是量化的临界过载电压,σx是量化输入信号的方差根值。从曲线上看,的变化分为两段。

①当20lg(V/σx)＞20dB时,这一段对应输入小信号的情况

这时,式(8.3.18)的括号部分表示非过载量化噪声影响的第一项起主要作用,第二项过载量化噪声的影响可以忽略不计。式(8.3.18)可以简化成为

即

由式(8.3.22)可以看出:每增加一位编码位数(即l增加1),量化信噪比就增加6dB;随着输入信号的减小,其方差根σx减小,使信噪比也减小,且减小的量等于信号减小的分贝数,这就证实了在对式(8.3.12)分析时所提到的问题。

②当20lg(V/σx)＜20dB时,这一段对应着输入大信号的情况

这时,量化信噪比主要由式(8.3.18)中的第二项即过载量化噪声所决定。从图8.3.5可以看出,在过载区,随着信号增大,信噪比下降得很快。因此在实际中,应让20lg(V/σx)＜10dB这种情况出现的概率很小,否则很难保证系统的质量。

③用正弦信号估计量化质量

假定正弦信号的幅度是u,且u＜V,无过载的量化信噪比由式(8.3.21)可得

在式(8.3.23)中u是正弦信号的幅度,表示了被量化信号的大小,它的变化范围就是信号的变化范围,20lg(u/V)信号对V的分贝数,因此,式(8.3.23)给出了正弦信号量化时量化信噪比与信号动态范围的关系。根据电话传输标准的要求,语音信号在动态范围等于-40dB的情况下,信噪比不应小于26dB,将这一要求代入式(8.3.23),有

即要求编码位数l≥11。显然,11位的编码相对于实际采用的7位编码来说,降低了信道利用率。

由式(8.3.23)可以画出非过载均匀量化信噪比曲线,如图8.3.6所示。它给出了不过载时,均匀量化信噪比随信号和编码位数(对应着量化间隔数)变化的情况。

从图8.3.6可以看出,采用7位编码时,由于小信号时信噪比低,满足26dB信噪比的最低输入信号是-18dB,这显然不符合通信标准对信号动态范围最小信号-40dB的要求。

要提高小信号的信噪比,增大信号的动态范围,从式(8.3.23)可知,只有加大编码的位数,即增大量化级数。关于这一点从图8.3.6中可以更清楚地看到,11位编码相对于7位编码,提高了信噪比,也使满足26dB信噪比要求的信号动态范围增大到近40dB。

从以上分析可以看出,均匀量化存在着小信号时信噪比低、信号的动态范围小的缺陷,而它唯一的改进途径是增加量化级数,即增加编码位数,这无疑降低了信道的利用率。为了解决这些问题,人们提出了非均匀量化的方案。

图8.3.6　非过载均匀量化信噪比曲线