1-5 已知图1-5(a)点A(15,10,25)的三面投影,点B的坐标为(40,25,25),点C在点B下方25mm、后方25mm、右方10 mm,作出B、C两点的三面投影,并连接AB、BC、AC,判别其空间位置。
图1-5(a)
图1-5(b)
【解题分析】
两点即可确定一条直线,解题前必须弄清各种位置直线的投影特性,并画出直线的三面投影图。即可确定该直线的空间位置。
【作图步骤】
(1)根据点B的坐标(40,25,25),作出点B的三面投影图。
(2)根据点的相对位置的投影规律,作出点C的三面投影图。
(3)分别将上述三点的同面投影相连,得出直线的三面投影图。
(4)判别三条直线的空间位置。答案如图1-5(b)所示。
【问题五】 怎样根据定比定理,求直线上的点?
1-6 在已知线段AB上求一点C,使AC∶CB=1∶2,并作出点C的投影。
图1-6(a)
【解题分析】
该题应根据点的从属性和点分割线段成比例的定比定理作图,(1)AB为一般位置直线,可以用射线法在一面投影上求点C的投影,用点在直线上的从属性求另一投影;(2)AB为特殊位置直线,是侧平线,因此,两面投影图上都要用射线法作图。
【作图步骤】
(1)利用分割线段成比例的定比分割法作图(射线法),过a作一射线B1,将其分为3段,连接B1b,过点C1作B1b的平行线得c,过c作OX轴垂线,与a′b′的交点c′即为所求。
(2)两投影均可由定比分割法作图,作图方法同上。
答案如图1-6(b)所示。
图1-6(b)
【问题六】 如何判断空间点是否在直线上?
1-7 (1)求一属于直线AB的点K的其他两投影,(2)判断点Q是否属于直线CD。
图1-7(a)
【解题分析】
根据点的从属性,点K在直线上,则点K的各个投影必定在该直线的同面投影上;反之,若该点的各个投影均在直线的同面投影上,则该点一定在直线上。根据投影规律,作点K在直线AB的投影即可。
由于CD为特殊位置直线,是侧平线,则需要作出第三面投影来判断点Q是否属于直线CD(另一种方法,用定比定理也可以进行判断)。
【作图步骤】
(1)过已知k′分别作X轴、Z轴的垂线,交ab上得k,交a″b″上得k″。
(2)作直线CD的第三面投影c″d″,假定点Q在已知直线AB上,故在c″d″上求得q″,据q、q′与q″的投影,判别点Q是否符合直线上点的投影规律。根据作图结果,可判别出点Q不属于直线CD。答案如图1-7(b)所示。
图1-7(b)
【问题七】 怎样运用直角三角形法求直线的实长以及对投影面的倾角?
1-8 求图1-8(a)中线段GH的实长及对投影面W面的倾角。
图1-8(a)
图1-8(b)
【解题分析】
求线段的实长及求对投影面的夹角可用直角三角形法解题。求线段GH的实长及对投影面W面的倾角γ角,需用GH的侧面投影和G、H两点的X坐标差,组成一个直角三角形,该三角形的斜边即为GH的实长,其与GH的侧面投影的夹角即为所求的γ角。
【作图步骤】
解法1:
(1)直接利用g′h′的X坐标差ΔX为一直角边,量取g″h″长度为另一直角边,组成一直角三角形。
(2)该三角形的斜边即为实长,斜边与另一直角边的夹角即为γ角。
解法2:
直接利用侧面g″h″投影作为一直角边,以正面取的ΔX为另一直角边,连接直角边的另外两个端点,组成的直角三角形的斜边即为实长,斜边与侧面投影g″h″间的夹角即为γ角。
答案如图1-8(b)所示。
【问题八】 怎样利用已知条件,根据直角三角形法求其他未知投影?
1-9 已知图1-9(a)线段RS的长度L,求S。
【解题分析】(www.xing528.com)
根据已知条件,已知实长求投影,需用RS的正面投影r′s′两点的Z坐标差,与RS组成一个直角三角形。该三角形的斜边即为RS的实长,另一直角边则为RS的水平投影rs。另外,本题有两种解法。
图1-9(a)
图1-9(b)
【作图步骤】
方法一:作r′r1⊥r′s′,以s′为圆心。L为半径,得r0,则r′r0=Δy。
方法二:过r′作OX平行线,以s′为圆心,L为半径,得R0,则S0R0=rs。
答案如图1-9(b)所示。
1-10 如图1-10(a),已知直线CD对水平投影面的倾角为30°,且与直线AB相交于点K,请完成其水平投影。
图1-10(a)
图1-10(b)
【解题分析】
根据已知条件用直角三角形法解题。已知直线CD对水平投影面的倾角为30°,且与直线AB相交于点K,利用c′k′两点的Z坐标差,组成一个直角三角形。该三角形的斜边即为直线CK的实长,该三角形的另一直角边侧为其水平投影ck。另外,本题有两种解法。
【作图步骤】
(1)先求交点k。
(2)用直角三角形法解题。答案如图1-10(b)所示。
1-11 过已知点K引一正平线KC,使与已知直线AB相交。
图1-11(a)
图1-11(b)
【解题分析】
根据正平线的投影特性,水平投影平行于X轴,先过k作一水平线,与ab交于C,求出c的正面投影c′,连接k′c′,即为所求直线。
【作图步骤】
(1)作kc∥OX,交ab得c。
(2)由定比分割法求得c′。
(3)连接k′c′,既为所求直线。答案如图1-11(b)所示。
【问题九】 根据两直线平行条件,且已知某坐标的求解。
1-12 过点A作直线AB,平行于直线DE,作直线AC与直线DE相交,其交点距H面20mm。
图1-12(a)
图1-12(b)
【解题分析】
根据空间两平行两直线的投影必定相互平行的投影特性,过点a作de的平行线,过a′作d′e′水平线即可。作一Z坐标为20的X轴平行线,求出c′,求出水平投影c,连接a′c′和ac,既为所求。
【作图步骤】
(1)过a作de的平行线,过a′作d′e′平行线即可,ab、a′b′即为所求。
(2)距X轴20mm,作f′g′∥OX,与d′e′相交得c′;求出c,连接a′c′和ac,既为所求。
答案如图1-12(b)所示。
【问题十】 怎样应用直角投影定理来解题?
1-13 过点K作直线KF,使其与直线CD垂直相交。
图1-13(a)
【解题分析】
应用直角投影定理解题。当相交两直线互相垂直,且其中一条直线为投影面平行线,则两直线在该投影面上的投影必定相互垂直。图1-13(a)中左图CD为一正平线,正面投影反映实形,过k′作cd的垂线即可得f′,再求出f。图1-13(a)中右图CD为一般位置直线,KF可以是正平线,即k′f′⊥c′d′,kf∥OX。也可以是水平线,kf⊥cd,k′f′∥OX。
【作图步骤】
(1)图1-13(b)中左图CD为正平线,作k′f′⊥c′d′,根据点的投影规律作出f,连接kf即为所求。
图1-13(b)
(2)图1-13(b)中右图CD为一般位置直线,KF可以是正平线,作出k′f′⊥c′d′,kf∥OX。也可以是水平线kf⊥cd,k′f′∥OX。
答案如图1-13(b)所示。
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