正弦函数模型的算法是假定被采样的电压、电流信号都是理想的纯正弦量,即不含直流分量和高频分量。这样可以利用正弦函数的特性,从若干个采样值中计算出电压、电流的幅值、相位以及功率和测量阻抗的量值。以电流为例,理想的纯正弦量采样值可以表示为
式中 n——采样点;
TS——采样周期;
I——电流有效值;
ω——角频率;
α——电流初始时刻相位。
实际上,故障后电流、电压都含有各种谐波分量和非周期分量,而且数据采集系统也会引入各种误差,所以基于正弦函数模型的算法要获得精确的结果,必须和数字滤波器配合使用。因此,式(32)中的i(nTS)应当是数字滤波器的输出,而不是直接应用模数转换器提供的原始采样值。
1.两点乘积算法
在频率一定的条件下,正弦量只有两个待定的参数——幅值和相位,因此已知两点的采样值就可以完全确定此正弦量。以电流为例,假设相隔Δt的两点电流采样值为
可以求得
为了简化计算,通常选择Δt=T/4,即两点采样值的电气角度相隔π/2,则有
式中 α1I---n1采样时刻电流的相角。
由式(35)可知,只要知道正弦量任意两个电气角度相隔π/2的瞬时值,就可以计算出该正弦量的有效值和相位。
如果两个正弦量之间的相位差(如电压和电流的相位差)θ=αU-αI,则通过三角函数计算可得
当Δt=T/4时,式(36)可简化为
因此,阻抗的实部和虚部分别为
以上算法很简单,只需相隔1/4周期的两个采样值,因此算法本身所需的数据窗长度为1/4周期,但前提是被采样的交流量不含谐波和直流分量。由于上述算法用到了两个采样值的乘积,所以称为两点乘积算法。
这种算法本身对采样频率无特殊要求,但是由于这种算法应用于有暂态分量的输入电气量时,必须先经过数字滤波,因而采样频率的选择要由所选用的数字滤波来确定。
2.三点乘积算法
三点乘积算法是利用三个连续的等时间间隔ΔT的采样值经两两相乘,再通过适当的组合消去ωt项以求出采样的幅值和相位的方法。组合的方式可以有多种,下面介绍的是其中的一种。
设tk,tk+1,tk+2为采样时刻,每个采样间隔为ΔT,电压过零后tk时刻的采样值u1和落后于u1一个θ角电流的采样值i1为
而tk+1时刻的采样值为
式中 ΔT---两采样值的时间间隔,即ΔT=tk+1-tk。
tk+2时刻的采样值为
如果将式(311)中的两式积相乘,有
式(312)与u1i1相加,得
因为(www.xing528.com)
很显然,式(313)与u2i2经过适当组合便可消去ωt k项,得
当i(t)用u(t)代替时,即用Im代替Um,θ=0°,则有
当ωΔT=30°时,式(314)和式(315)可简化为
根据式(316)~式(318),可得
依照前面的算法,可求得Z值和θ值。式(316)~式(320)即为常用的三点乘积算法。
与两点乘积算法比较,三点乘积算法只需要等待60°的时间,而两点乘积算法则需等待90°的时间,所以三点乘积算法延时稍短一些。
3.导数算法
导数算法只需知道输入正弦量在某一个时刻t1的采样值及在该时刻采样值的导数,即可算出有效值和相位。设i1为t1时刻的电流瞬时值,表达式为
则t1时刻的电流导数为
由式(321)和式(322)可得
为了求得导数,可取t1为两个相邻采样时刻n和n+1的中点,然后用差分近似求导,则有
而t1时刻的电流、电压瞬时值则用平均值
可见导数算法需要的数据窗较短,仅为一个采样间隔,算式和乘积法的算式相似也不复杂。采用导数算法,要求数字滤波器有良好的滤去高频分量的能力(求导数将放大高频分量),要求较高的采样率。
4.Prodar70算法
Prodar70算法是在导数算法的基础上作了修正,采用一阶导数值和二阶导数值,代替导数算法中的采样值和一阶导数值。设
计算式(329)和式(330),可得
而且有
5.半周积分算法
该算法的依据是一个正弦量在任意半周期内绝对值的积分为一个常数S,并且积分值S和积分的起始点初相角α无关。
即正弦量半周期绝对值的积分正比于幅值Um,从而半周积分算法可用式(338)表示
式中 S——半周内K个采样值的总和;
Ui——第i个采样值,且U i=Umsin[α+ω(i-1)T s];
k——半周内的采样数;
α——第1个采样值的初相角;
K(α)——S与Um的比值。
由于用采样值求和代替积分,所以也带来误差,此误差随α值的变化而变化。半周积分法需要的数据窗长度为半个周期,即10ms,显然较长。它本身有一定的滤除高频分量的能力,因为叠加在基频成分上的幅度不大的高频分量,在半个周期积分中其对称的正负部分可以互相抵消,剩余的未被抵消的部分占的比重就减小了。但半周积分法不能抑制直流分量。另外,由于这种算法运算量极小,可以用非常简单的硬件实现。因此对于一些要求不高的电流、电压保护可以采用这种算法,必要时可另配一个简单的差分滤波器来抑制电流中的非周期分量。
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