曲面模型及其应用

曲面模型(Surface Model)是CAD技术发展到一定阶段的产物,具有很高的使用价值。很多复杂的零件都采用曲面模型表达,如涡轮叶片、汽车车身、飞机各部件的外形等。常用的曲面模型有孔斯曲面、贝塞尔曲面、B样条曲面及NURBS曲面等,如图2-5所示。

1.孔斯曲面

在飞机公司从事外形设计的孔斯(S.A.Coons)于1964年提出了一种用于计算机辅助曲面设计的数学方法,并在汽车和飞机外形设计中首先应用。先定义出曲面上两组相交的曲线,可以构成一个空间曲线网,基于这种空间曲线网产生了孔斯曲面。孔斯曲面可以采用任意类型参数曲线的四条边界曲线来构造曲面。对给定的曲面进行细分,再用比较简单的数学方程式近似表示各分割曲面。分割曲面的各个单元称为曲面片,曲面片由四条边界曲线围成。每个曲面片根据边界曲线和边界连续性条件来定义。曲面片的参数方程形式为

图2-5 几种常用曲面模型

如用矢量方程表达,上式可写成

P=P(u,v)=[f₁(u,v)f₂(u,v)f₃(u,v)](0≤u≤1,0≤v≤1)其中,用P(u,v)表示f₁(u,v)、f₂(u,v)、f₃(u,v)三个分量。

曲面包含两族参数曲线:u线和v线。分别设定某一参数,通过上面的曲面矢量方程便可分别得到两参数曲线。给定由四条参数曲线P(u,0)、P(u,1)、P(0,v)、P(1,v)围成的空间曲面四边形,求解上述四条曲线为边界曲线的曲面P(u,v),即可求出给定边界的孔斯曲面片。

2.贝塞尔曲面

与贝塞尔曲线类似,贝塞尔曲面形状由特征多面体控制。利用控制点、基函数生成贝塞尔曲线的方法可以推广来生成贝塞尔曲面。给定(n+1)×(m+1)个排成网格的控制顶点P_i,j(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m),利用基函数B_i,n(u)、B_j,m(v)可构成一张曲面片,称该曲面为n×m次贝塞尔曲面。它可表示为

其中,i=0,1,…,n;j=0,1,…,m;(u,v)=[0,1]×[0,1];B_i,n(u)、B_j,m(v)与贝塞尔曲线的基函数相同。

固定参数v,对参数u而言是一族贝塞尔曲线;固定参数u,对参数v而言也是一族贝塞尔曲线。因此贝塞尔曲面是由贝塞尔曲线族交织而构成的曲面,也就是说,可利用贝塞尔曲线的网格来绘制或显示贝塞尔曲面。为了不至于减弱特征多面体顶点对曲面的控制能力,m和n的取值不宜过高,一般常选择m=n=3,即双三次贝塞尔曲面,如图2-6所示。

图2-6 双三次贝塞尔曲面(www.xing528.com)

可通过调整双三次贝赛尔曲面的各个顶点控制曲面的形状。双三次贝塞尔曲面有以下几何特征:

1)特征多边形的四个角点也是贝塞尔曲面的四个角点。

2)特征多边形最外层顶点连成的四个特征多边形确定了贝塞尔曲面的四条边界曲线。贝塞尔曲面的缺点是曲面的局部变形和曲面元之间的接续都比较困难。

3.B样条曲面

B样条曲面是曲面外形设计的主要方法之一。B样条曲面的生成过程与贝赛尔曲面相似,是B样条曲线的二维推广。已知(m+1)×(n+1)个空间特征多面体顶点P_i,j(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n),则k×1次B样条曲面的表达式为

其中,N_i,k(u),N_j,l(v)分别为B样条基函数族。选择k=l=3,即为双三次B样条曲面,如图2-7所示。双三次B样条曲面是最重要的一种B样条曲面。与双三次贝塞尔曲面相比,双三次B样条曲面更贴近于特征多面体,并解决了曲面片之间的连接问题,保证整个曲面二阶导数连续。

4.NURBS曲面

图2-7 双三次B样条曲面

已知(m+1)×(n+1)个空间控制顶点P_i,j(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)形成控制网格,与NURBS曲线类似,k×1次NURBS曲面可表示为

其中,控制顶点d_i,j(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n)呈拓扑矩形阵列,形成一个控制网格;w_i,j是与顶点d_i,j联系的权因子;N_i,k(u)(i=0,1,…,m)和N_j,l(v)(j=0,1,…,n)分别为u向k次和v向l次的规范B样条基。

贝塞尔曲面和B样条曲面都不能够精确表示除抛物面外的二次曲面,而NURBS方法却提供了二次曲面的精确描述。NURBS曲线的多数性质可直接推广到NURBS曲面。