电弧模型及电弧回烧距离计算方法

假定熔体断口由于迅速建立起电压，开始电离时燃弧过程同时开始，可以通过逐步迭代法确定电压及电流的变化。

一般假定电弧由三部分组成：阴极区、阳极区和正柱，在下面的模型中分别分析这三个区的特性。

（1）阴极区

在阴极区的一端，长度约为10-3 mm，电流在金属蒸气中流动，在阴极的另外一端，电流在固态或液态金属中流动。

低沸点阴极材料如银的电子发射可以用热及场效应来解释，其中考虑了阴极发射点的温度和电场。在阴极区的电压降基本恒定，大小约为10 V。WBM就假设阴极区的电压降为10 V。

（2）阳极区

这个区域的长度约为10-3 mm，同阴极区一样，在阳极区一端电流在固态或液态金属中流动，在另一端电流在金属蒸气中流动。

阴极区电压降基本恒定，同阴极区不同的一点是，阳极区的电压降（Va）f在0到熔体材料的电离势之间变化，实际值由该区域内的反应机理决定。因为在熔断器燃弧过程中离子产生的最可能的机理是场电离，在数学模型中选取等于材料电离势（银的电离势是7.56 V）的恒定值。

（3）正柱

正柱存在于阴极区和阳极区之间，呈电中性。实际的正柱特性分布不均匀，但是为了简化模型，WBM假定其截面积和电导率恒定不变，这样在知道横截面积及电导率后就可以计算出电阻。

①正柱的长度

前文提到，电极区域极短，长度一般不超过10-3 mm，因此可以认为正柱的长度就等于电极之间断口的长度，该长度依赖于输入功率的大小及其引起的熔体的电离和形成的断口长度。

A.阳极接受的功率

阳极接受功率主要有两种方式：

a.电子脱离阴极时获得的能量在电子到达阳极表面并进入阳极时返回给阳极，能量大小等于功函数（等于电压Vw）f与流入阳极电流的乘积。

b.抵达阳极表面的电子的动能，其大小等于两部分能量之和：一部分是通过正柱时获得的热量（等于电子通过电压降VT为1 V的能量）；另一部分能量是电子在阳极被加速获得的能量。

阳极接受功率的其他方式包括：

a.来自正柱的辐射与热传递。计算表明，与这些模式相关的能量与上述两种方式相比很少。

b.阳极的焦耳热。分析表明，与此相关的能量也很少。

B.阳极失去的功率

阳极失去能量的途径包括通过辐射及热传导散失到周围填充介质以及散失到与熔体相邻区域的能量。同样的分析表明，与此相关的能量也很少。

C.阴极接受的功率

阴极接受功率主要有以下方式：

a.抵达阴极的正离子克服表面力耗掉的能量传递给阴极。同阳极的情况一样，这些能量由两部分构成：一部分是在正柱区获得的热能；另一部分是在阴极区离子加速获得的功率。后一部分功率的大小等于离子电流与阴极电压降的乘积。

b.离子与电子在阴极结合释放的功率，大小等于原子电离势（单位：伏特）与流入阴极电流的乘积。

同阳极的情况一样，其他方式传递给阴极的功率很少。

D.阴极失去的功率

阴极失去的功率主要是发射电子的功率，大小等于电子电流与功函数（为1 V）的乘积。其他方式如辐射及传导耗散的功率很小。

E.功率平衡

一对电极获得的功率与失去的功率差值用于电极间熔体材料升温、液化及汽化所消耗掉的功率，其数值大小可以表达为：

由于阴极处电子电流／离子电流的比例无法知道，无法确定阴极获得的功率。通过大电流熔体的X射线图像显示：一对正负电极间熔体灼烧量基本相同，由此可以认为提供给阴极的功率等于阳极得到的功率。

需要注意的一个重要现象是，原来占据电极之间断口的熔体，只有一部分在燃弧过程中汽化，另一部分以液态形式流入周围介质。对于相同质量的熔体材料，汽化所需要的能量比变成液体流动所需要的能量多得多。要计算电弧特性，首先要知道熔体有多少发生了汽化，这可以通过实验方法得到。熔体用银、灭弧介质用石英砂，熔断器通过大电流熔断后用X射线图像确定电弧的最终长度，利用示波器记录电流值，可以得到熔体液化和汽化的能量值如下：

其中，ta是燃弧持续时间。

由（F-2.17）得到的能量值等于烧掉的电极材料（即电极间熔体材料）所需要的能量，即：

其中，mt是灼烧掉的熔体的质量，通过X射线图像可以确定。mv是汽化的熔体的质量。可以注意到，在上述公式中，熔体从液态变成气态所需要的能量被忽略，因为相比汽化潜热，这个能量很少。同时，上述公式假定弧前阶段电极（熔体）材料的体温度是200℃。

在所有的试验中发现，当mv≈0.4 mt时，方程式（F-2.17）和（F-2.18）成立，这意味着当汽化物质占熔化物质的总量大约40%时，上述方程式成立。在这种条件下，发现总能量的大约20%用来满足所需要的熔化潜热Lf，因而可以利用下面的公式计算一对电极之间断口的长度，亦即在时间δt内电弧回烧的距离：

其中，ρ为熔体的密度，l1和l2及i1和i2分别是起始和结束时的断口长度和电流，Ae是该时间段的电弧根部电极的截面积。利用这种方法连续计算多个时间段的电弧回烧距离便可以计算出整个正柱的长度。

②正柱的横截面积

当正柱在熔断器里生成后，它从系统中接受的功率等于正柱电压降乘以流过正柱的总电流，在时间δt内正柱接受的能量Ea可以表达为：

其中，va1和va2以及i1和i2分别是δt时间段开始和结束时正柱的电压及电流值。(www.xing528.com)

在燃弧阶段前期，正柱接受的一部分能量用于正柱温度升高和体积增大；后期正柱的横截面积和能量都会减小。在很短的时间内正柱内的能量变化相对于接受的总能量比例很小，因此可以假定，任何时间正柱接受的能量传导给周围的填充介质引起介质不断熔化。熔化1 g石英砂大约需要2100 J的能量，所以在δt时间生成熔融状态的石英砂是（Ea/2100）g。

熔断器生产工艺里，灌砂之后是振砂，使石英砂在熔管腔内随机充实。这种状态下，石英砂占据管腔容积的60%，其余部分充满空气。石英砂熔化，体积增大约7%，占原来石英砂－空气总体积的64%（即：1.07×60%＝64%）。在管腔内存在空洞，正柱可膨胀进入其中；另外，熔体熔化后也为正柱膨胀提供空间。在δt时间正柱体积的变化量可以表达为：

其中，l1、l2分别是δt起点和终点正柱的长度，Ae是熔体在电弧根部的截面积，随机填充的石英砂面密度数值是1.6×106 g/m2。

观察分断大电流后的熔断器发现，在原来熔体狭颈处总会出现岩熔物包围的空洞。这些空洞的横截面积会有差异，不过为了数学建模可以忽略这种差异，用下面的公式表达正柱的面积：

③正柱的电导率

在熔断器燃弧阶段，从两个电极蒸发掉的材料以蒸气流的形式进入正柱。这个现象通过试验包括高速摄影手段拍摄电弧得到验证。从正、负电极产生的蒸气流相互碰撞、生成涡流，使各个正柱的温度及电子密度分布均匀。

在任一时间段δt内，若干被蒸发的熔体原子脱离电极以蒸气流形式被加速进入正柱，其中数量为X的一部分原子被电离；在同一时间段δt内，几乎相同数量的原子和离子散射离开正柱，只有这样，正柱的内部压力才能趋于稳态，此时正柱形成的电导率和相应的熔断器试验中得到的电压及电流的分析结果一致。处于建立模型的目的，可以假定在任一时间段δt内下面的公式成立：

及

其中，Nai和Ne分别是在δt时间内从电弧散射出来的原子的数目以及离子和电子的数目，Na是在相同时间内从电极蒸发出来的原子数目。

利用前面的公式（F-2.17）、（F-2.18）（F-2.19）可以得到在δt时间内熔化掉的电极材料的质量为：

mt＝2（Vaf＋Vwf＋VT）［（i1＋i2）/2］（0.2 δt/Lf）

熔化掉的电极材料质量的40%变成蒸气，因此如果知道每1 g熔体材料的原子数目（Ng）（银熔体Ng＝5.66×1021），在δt时间内射入蒸汽流的原子数目为：

Na＝Ngmv

正柱释放能量的主要方式包括：

a.从正柱散射出来的原子和离子将动能传递给周围填充介质，在δt时间内这个能量值为：

其中，kB是波兹曼常数（Boltzmann’s constant），取1.38×10-23 J/K，θa1、θa2分别是δt起始和结束时的正柱温度。

b.从正柱散射出来的电子也将动能传递给周围填充介质，在δt时间内这个能量值为：

c.从正柱获得能量电离Ne个原子，离子与电子结合将能量递给周围填充介质，在δt时间内这个能量值为：

其中，EJ是每个原子的电离能，对于银熔体，其数值是12.1×10－19 J。

d.能量辐射给周围填充介质。由于正柱的温度和压力都很高，可以认为是黑体辐射。由于周围温度相对比较低，为了简化计算，可以认为温度差就是正柱的温度。在这些假设条件下，辐射耗散的能量（RE）可以表达为：

其中ks是Stefan-Boltzmann常数，其值取5.67×10－8 W（/m2·K4）。

为了便于建立模型，可以假定正柱呈圆柱状，其直径为：

其中Aa2是结束时间点的正柱横截面积。由此可以得到正柱的表面积为：

正柱释放能量的其他方式还有向周围介质的传导以及向电极的辐射，不过能量值很小、热时间常数很大。

输入正柱的能量是其电压乘以电流的时间积分。在δt时间内这个能量值为：

Ei＝［（Va1i1+Va2i2）/2］δt

考虑到能量平衡，可以得到：

Ei＝［（Va1i1+Va2i2）／2］δt＝KEai+KEEe+IE+RE

将（F-2.23）至（F-2.29）的关系式代入上面的公式，得到：

在任何时间，由于原子及电子在逃离正柱前要经过多次碰撞，平均自由程很短，可以认为其温度相同。在这种情况下，可以应用关于电子密度、电离度及温度关系的Saha方程式：

其中，ne2是δt结束时的电子密度。δt时段内蒸发的原子以蒸气流的方式流动，为建模目的，可以假定与电极的横截面积有关，并且在正柱内速度恒定。

原子占据的体积Va为：

其中VJ是蒸气流的速度。由此得到该物质的原子密度为：

相应的电子密度为：

其中，X为电离度百分比。

在此基础上可以进一步假定电子与离子在逃离正柱前达到最终速度，由此可以确定离子与电子的电导率。由于电子的运动大大快于离子，在计算电流时可以进一步忽略粒子的电流分流。

对于熔断器电弧，电离度（X）大于0.01%，Spitzer电导率方程式成立：

方程式（F-2.30）至（F-2.35）是非线性的，与5个未知量（即：σ2，ne2，θa2，VJ和X2）相关，无法直接求解。不过这个问题可以结合试验方法解决：记录试验的电流-电压曲线获得电导率数值，代入方程式（F-2.30）至（F-2.35）获得另外4个变量的数值，结果发现蒸气流的速度VJ变化范围很大。这个结果得到不同人的验证。由于VJ的变化对正柱的电导率影响不大，可以选用蒸气喷气流的速度代入上面的方程式，由此使计算值和实验值的误差变得最小。