类型一:函数周期性定参数
例1设ƒ(x)是定义在R 上的函数,且ƒ (x+2)=ƒ(x),在区间 [-1,1]上,ƒ(x)=其中a,b∈R,若,则a+3b的值为________.
【思路点拨】由ƒ(x+2)=ƒ(x)知函数周期T=2,所以
【规范解答】因为ƒ(x)是定义在R 上且周期为2的函数,所以ƒ(-1)=ƒ(1),即-a+1=
又因为,综上可得a=2,b=-4,则a+3b=-10.
类型二:函数周期性求值
例2 已知ƒ(x)是定义在R 上的奇函数,ƒ(2)=2,且对任意x∈R 都有ƒ( x+6)=ƒ(x)+ƒ(3)成立,则ƒ(3)=_________,ƒ(2020)=_________.
【思路点拨】首先利用奇函数求解ƒ(3 ),发现函数周期T=6,然后根据周期性求解ƒ(3 )与ƒ(2020)的值.解题过程中要善于进行相似结构的联想,ƒ(x)+6 =ƒ(x)+ƒ(3)的结构比较类似函数周期性定义.
【规范解答】由题意知,ƒ(x+6)=ƒ(x)+ƒ(3),令x=-3,ƒ(3)=ƒ(-3)+ƒ(3),即ƒ(-3)=0.因为ƒ(x)是定义在R 上的奇函数,ƒ(3)=0,故ƒ(x+6)=ƒ(x),ƒ(x)是周期为6的周期函数,ƒ(2020)=ƒ(4)=ƒ(-2)=-ƒ(2)=-2.
类型三:函数周期性与对称性
例3 已知ƒ(x)是定义在R 上的函数,ƒ(0)=3,且函数ƒ(x-1)为奇函数,ƒ(x+3)为偶函数,则ƒ(2030)+ƒ(2031)=________.(www.xing528.com)
【思路点拨】因为函数ƒ(x-1)为奇函数,所以函数ƒ(x)的对称中心为 (-1,0);又因为ƒ(x+3)为偶函数,所以ƒ(x)的对称轴为x=3,可得函数周期
【规范解答】因为ƒ(x-1)为奇函数,所以ƒ(x)有对称中心 (-1,0);因为ƒ(x+3)为偶函数,所以ƒ(x)有对称轴x=3,可得ƒ(x)的周期=16,ƒ(2030)=ƒ(-2)=-3,ƒ(2031)=ƒ(-1)=0,所以ƒ(2030)+ƒ(2031)=-3.
类型四:函数性质的应用
例4 设ƒ(x)在 (-∞,+∞)上满足ƒ (2-x)=ƒ (2+x),ƒ (7-x)=ƒ (7+x),且在闭区间[0 ,7]上,只有ƒ(1)=ƒ(3)=0.
(1)判断y=ƒ(x)的奇偶性;
(2)求方程ƒ(x)=0在闭区间 [-2008,2008]上的根的个数,并证明你的结论.
【思路点拨】由ƒ (2-x )=ƒ (2+x)知函数ƒ(x)的对称轴为x=2;由ƒ (7-x)=ƒ (7+x )知函数ƒ(x)的对称轴为x=7,所以函数周期
【规范解答】(1)由ƒ (2-x )=ƒ( 2+x) ,ƒ (7-x) =ƒ( 7+x) 得函数y=ƒ(x)的对称轴为x=2和x=7,从而可知函数周期=10,所以ƒ(- 7)=ƒ(3)=0,而ƒ(7)≠0,所以函数y=ƒ(x)是非奇非偶函数.
(2)因为ƒ(3)=ƒ(1)=0,所以ƒ(11)=ƒ(13)=ƒ(- 7)=ƒ(- 9)=0,故ƒ(x)=0 在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知ƒ(x)=0在[0,2008]上有402个解,在 [-2008,0]上有401个解,所以ƒ(x)=0在 [-2008,2008]上有803个解.
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