典例自学：函数周期性定参数例1在区间上的函数值

类型一：函数周期性定参数

例1设ƒ(x)是定义在R 上的函数，且ƒ (x＋2)＝ƒ(x)，在区间 [－1，1]上，ƒ(x)＝其中a，b∈R，若，则a＋3b的值为________.

【思路点拨】由ƒ(x＋2)＝ƒ(x)知函数周期T＝2，所以

【规范解答】因为ƒ(x)是定义在R 上且周期为2的函数，所以ƒ(－1)＝ƒ(1)，即－a＋1＝

又因为，综上可得a＝2，b＝－4，则a＋3b＝－10.

类型二：函数周期性求值

例2 已知ƒ(x)是定义在R 上的奇函数，ƒ(2)＝2，且对任意x∈R 都有ƒ( x＋6)＝ƒ(x)＋ƒ(3)成立，则ƒ(3)＝_________，ƒ(2020)＝_________.

【思路点拨】首先利用奇函数求解ƒ(3 )，发现函数周期T＝6，然后根据周期性求解ƒ(3 )与ƒ(2020)的值.解题过程中要善于进行相似结构的联想，ƒ(x)＋6 ＝ƒ(x)＋ƒ(3)的结构比较类似函数周期性定义.

【规范解答】由题意知，ƒ(x＋6)＝ƒ(x)＋ƒ(3)，令x＝－3，ƒ(3)＝ƒ(－3)＋ƒ(3)，即ƒ(－3)＝0.因为ƒ(x)是定义在R 上的奇函数，ƒ(3)＝0，故ƒ(x＋6)＝ƒ(x)，ƒ(x)是周期为6的周期函数，ƒ(2020)＝ƒ(4)＝ƒ(－2)＝－ƒ(2)＝－2.

类型三：函数周期性与对称性

例3 已知ƒ(x)是定义在R 上的函数，ƒ(0)＝3，且函数ƒ(x－1)为奇函数，ƒ(x＋3)为偶函数，则ƒ(2030)＋ƒ(2031)＝________.(www.xing528.com)

【思路点拨】因为函数ƒ(x－1)为奇函数，所以函数ƒ(x)的对称中心为 (－1，0)；又因为ƒ(x＋3)为偶函数，所以ƒ(x)的对称轴为x＝3，可得函数周期

【规范解答】因为ƒ(x－1)为奇函数，所以ƒ(x)有对称中心 (－1，0)；因为ƒ(x＋3)为偶函数，所以ƒ(x)有对称轴x＝3，可得ƒ(x)的周期＝16，ƒ(2030)＝ƒ(－2)＝－3，ƒ(2031)＝ƒ(－1)＝0，所以ƒ(2030)＋ƒ(2031)＝－3.

类型四：函数性质的应用

例4 设ƒ(x)在 (－∞，＋∞)上满足ƒ (2－x)＝ƒ (2＋x)，ƒ (7－x)＝ƒ (7＋x)，且在闭区间[0 ，7]上，只有ƒ(1)＝ƒ(3)＝0.

(1)判断y＝ƒ(x)的奇偶性；

(2)求方程ƒ(x)＝0在闭区间 [－2008，2008]上的根的个数，并证明你的结论.

【思路点拨】由ƒ (2－x )＝ƒ (2＋x)知函数ƒ(x)的对称轴为x＝2；由ƒ (7－x)＝ƒ (7＋x )知函数ƒ(x)的对称轴为x＝7，所以函数周期

【规范解答】(1)由ƒ (2－x )＝ƒ( 2＋x) ，ƒ (7－x) ＝ƒ( 7＋x) 得函数y＝ƒ(x)的对称轴为x＝2和x＝7，从而可知函数周期＝10，所以ƒ(－ 7)＝ƒ(3)＝0，而ƒ(7)≠0，所以函数y＝ƒ(x)是非奇非偶函数.

(2)因为ƒ(3)＝ƒ(1)＝0，所以ƒ(11)＝ƒ(13)＝ƒ(－ 7)＝ƒ(－ 9)＝0，故ƒ(x)＝0 在[0，10]和[－10，0]上均有两个解，从而可知ƒ(x)＝0在[0，2008]上有402个解，在 [－2008，0]上有401个解，所以ƒ(x)＝0在 [－2008，2008]上有803个解.