小学数学课程与教学：数学能力的构成及类型差异问题

这里所说的数学能力，实际上就是指儿童数学认知和建构的能力。而这种数学认知和建构能力，包含着一般能力和个性差异两个方面。

（一）能力概述

所谓能力，通常就是指构成个体的个性心理特征的一个主要的组成部分，是指个体能胜任某种活动所具有的心理特征。对于能力结构，心理学界有着许多不同的描述。如斯皮尔曼（Spearman）于1904年提出一种“二因素说”，他将能力分为一般和特殊两类。而美国心理学家塞斯顿（T.G.Thurstone）于1938年提出智力有十二种因素，其中有七类是主要心理能力。包括：S——空间知觉（对几何关系的操作，处理图形）；P——知觉速度（视知觉的速度和精确度，即特殊符号的快速再认）；N——计算的或计数的速度（简单的算术运算或推理）；V——语言的速度（语言理解，语言类比，语言推理等）；W——词汇的“流畅性”（词汇的丰富程度，字词联想的丰富性）；M——联想记忆；

此外，美国哈佛大学教授霍华德·加德纳（Howard Gardner）于1983年提出了“多元智能理论”，当时他提出了有至少七种以上的智能。包括：语言智能；数学逻辑智能；音乐智能；身体运动智能；空间智能；人际关系智能；自我认识智能；

美国耶鲁大学教授R.J.斯腾伯格（R.J.Stenrnberg）则从信息加工的角度，提出了智力的三元理论学说。并在此基础上，进而提出三种智力的因素^[12]：第一，流体能力（变化的），解释问题解决能力的实质，它主要包括归纳推理以及演绎推理方面的能力；第二，晶体智力（固定的），解释语言能力的实质，它主要包括语言理解的获得和实时语言理解以及信息加工方面的能力；第三，社会和实践智力（不以认知为基础的能力），它主要包括社会智力（如非语言交流的解码能力等）和实践智力（如获得非传授性知识的能力等）。

（二）数学能力

关于数学能力，也有着许许多多不同的描述，而所有的这些描述，都是与这样三个值得思考的基本性问题紧密关联的^[13]：

（1）数学能力的特殊性问题。讨论数学能力是一种在数学领域表现出来的一般的能力，还是与一般能力模型不同的特殊的能力？

（2）数学能力的结构性问题。讨论数学能力是一个在数学领域表现出来的能力的总称，还是包含着各种不同特征的能力？

（3）数学能力类型差异问题。讨论数学能力是否存在着不同的类型差异？而这种差异是否是因对某一数学学科的兴趣和偏好所造成的？

但不管问题的思考结果如何，按字面的理解，所谓的数学能力，可以描述为，就是在数学上所表现出来的一种能力特征，或者说，就是人们在从事数学活动中所表现出来的、保证这种活动顺利进行的一种稳定的心理特征。

谈到数学能力的基本构成，许多学者尝试了多种不同的描述。例如，美国心理学家G.雷韦兹在1952年的《才能和天才》中提出，数学能力有两种基本的形式：应用性能力——不经预试就能迅速地找出数学关系，并能在相似的事例中应用适当信息的能力；创造性能力——揭示那些无法从已有的信息直接得出相互关系的能力。

而瑞典的心理学家I.魏德林于1958年提出，数学能力由四个要素构成：理解数学问题、符号、方法和证明本质的能力；学会数学问题、符号、方法和证明并保持与再现的能力；将它们与其他问题、符号、方法和证明结合起来的能力；在解决数学问题时运用它们的能力。

前苏联教育科学院心理学家鲁切斯基（也译克鲁捷茨基），对一些样本进行了长达16～20年的跟踪研究，认为^[14]，数学能力主要由如下九个成分所构成：

（1）使数学材料形式化的能力，即从内容中抽出形式，从具体数量关系和空间形式中进行抽象，以及运用形式结构进行运算的能力。

（2）概括数学材料的能力，即从不相关的材料中抽出最重要的东西，以及从外表不同的材料中看出共同点的能力。

（3）运用数学和其他符号进行运算的能力。

（4）连续而有节奏地（连贯而适当分段）逻辑推理的能力，这种推理是证明、形式化和演绎所必需的。

（5）简化和缩短推理过程的能力，即用缩短了的结构进行思维的能力。(www.xing528.com)

（6）逆转（从顺向的思维系列转到逆向思维系列）心理过程的能力。

（7）思维的灵活性——从一种心理运算转向另一种心理运算的能力以及从陈规俗套中解脱出来的能力。

（8）数学记忆，主要指对概括内容、形式化结构和逻辑模式的记忆力。

（9）形成空间概念的能力。

我国有学者从数学的陈述性、程序性和策略性等三类认知学习的分类角度出发，将数学能力分为^[15]：

（1）认知。包括：概念（如对基本数量概念、数群概念、数序等基本概念的认识等）；符号（如对数字、字母、数值、各种数学符号的意义用法的认识等）；图形（如对二维和三维图形的认识等）；数量关系（如对各种函数关系的认识等）；空间关系（如对空间图形与数量关系、空间部分与整体关系的认识等）。

（2）操作。包括：解题思路（如解题过程综合分析、演绎、还原数学模型等问题解决过程等）；解题程序及表达（如解题过程的推理能力和用数学语言还原能力等）；逆运算（如对各种逆运算的认识等）。

（3）策略。包括：解题直觉（如将眼前问题情境很快纳入头脑认知结构并迅速作出判断等）；解题方式方法（如在分析综合多种数量关系上选择突破口获得解题方法等）；速度及准确性（如解题的迅速和准确性等）；创造性（如解题过程具有独特性和创新性等）；自我检查评定（如自我反思、评价和修正，调整学习策略等）。

按我国比较传统的认识，将数学能力结构分为：

（1）运算能力。包括：数据运算、逻辑运算（逻辑推理）和操作运算等能力。运算能力通常含有这样几个要素：感知数字特征的能力；算式恒等变形（处理数据）的能力；对数的分解与组合的能力；灵活运用法则以及性质和定律等。而描述能力的变量主要有准确性、速度、合理、灵活简洁等四个方面。

（2）空间想像能力。空间想像能力是以良好的空间观念为基础的。所谓空间观念，就是指物体的大小、形状、方向、距离及其位置关系等在头脑中留下的表象。它通常可以包括：认识形体形状特征，即能迅速再现这些形体特征的表象；认识形体大小，即能迅速再现这些形体大小的表象；认识形体间的位置关系，即能迅速再现这些形体位置关系的表象。所谓的空间想像能力，就是指对客观事物的空间形式进行观察、分析、归纳和抽象的能力。具体地看空间想像能力，至少包含这样几个要素：第一，依据实物建立模型的能力；第二，依据模型还原实物的能力；第三，依据模型抽象出特征、大小和位置关系的能力；第四，将模型或实物进行分解与组合的能力。

（3）数学观察能力。观察是多种感觉器官对对象的一种有目的的知觉，通常就是指通过感觉器官迅速形成对外部事物或现象的印象（表象）的能力。而作为数学的观察能力，即指对符号、字母、数字或文字等所表示的数学关系、命题、图像或图形结构等迅速知觉的能力。

一般认为，数学观察能力至少含有这样几个要素：第一，对象的概括化的能力；第二，知觉的形式化能力；第三，空间结构的知觉能力；第四，逻辑模式的辨识能力。

（4）数学记忆能力。作为一般能力的记忆，即指人们对过去曾经感知的经验，通过识记、保持，在重现和再认中的反映。而作为数学学习中的记忆能力，通常指对概括化、形式化的符号、命题、性质以及空间结构、逻辑模式等识记与再现的能力。而所谓的联想，则介于记忆和想像之间，其机制是，当前事物引起回忆，并由此启迪想像。记忆包括识记、保持、重现、再认四个相互联系的基本过程。

（5）数学思维能力。所谓思维，就是指反映事物的一般特征并发现事物间规律性联系和关系的过程。而所谓数学思维，就是对已有数学信息运用数学推理的思考方式进行思维的能力。思维按不同的角度，可以有多种不同的分类，如：

●按思维的层次划分，可以分为：动作思维，即思维过程中依赖识记动作的思维（例如皮亚杰发现他的女儿要打开一个火柴盒子或关上，常常跟着张开或闭上嘴巴；又如布鲁纳发现一个3岁左右的儿童，在认一个三角形的时候，一定要用自己的小手指画三个转弯，如果不让她用手指，她就认不出这个三角形来）；形象思维，即用表象来支持自己的分析、综合、抽象、概括等过程的思维，也称“映象式思维”；抽象思维，即以概念、判断或推理等形式来反映客观事物本质属性的思维。

●按思维的逻辑性划分，可以分为：逻辑思维（包括传统逻辑思维，即形式逻辑；数理逻辑思维，也称符号逻辑思维）；非逻辑思维（包括猜想、灵感、直觉和顿悟等）。

皮亚杰认为，儿童的思维发展是有规律的，且不同的个体在思维能力的表现上有明显的不同，例如有的人擅长演绎推理，而有的人则更多表现出直觉和顿悟。