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数学新课程:橡皮泥拓扑变换及生活中的本质不同形体

时间:2023-08-07 理论教育 版权反馈
【摘要】:橡皮膜上的图形,通过拉扯、弯曲和压缩,只要不扯断或把分开的部分捏合,就能保持一对一和点的邻近关系,所得到的前后图形是拓扑等价的。显然,上面讲的捏橡皮泥,是一种保持点与点邻近关系的拓扑变换。但拓扑变换并非都能通过捏橡皮泥的办法得到。可能有的读者会问:既然拓扑学中允许一个空间形体,像橡皮泥那样捏来捏去,那么在我们生活着的空间里,什么样的形体才称得上本质不一样的呢?

数学新课程:橡皮泥拓扑变换及生活中的本质不同形体

拓扑学是一门研究一对一连续变换的几何学。公元1902年,德国数学家豪斯道夫用邻域的概念代替了距离,得出了一套完整的理论系统。在这一理论中,拓扑变换是一种不改变点的邻近关系的,一对一的连续变换。

橡皮膜上的图形,通过拉扯、弯曲和压缩,只要不扯断或把分开的部分捏合,就能保持一对一和点的邻近关系,所得到的前后图形是拓扑等价的。同理,一块橡皮泥只要不撕裂、切割、叠合或穿孔,便能捏成一个立方体苹果泥人大象或其他更复杂的物件,但却无法捏出一个普通的炸面圈或纽扣,因为后者中间的空洞,是无论如何也拉不出来的!

显然,上面讲的捏橡皮泥,是一种保持点与点邻近关系的拓扑变换。但拓扑变换并非都能通过捏橡皮泥的办法得到。右图是把一个橡皮泥做成的圆圈剪断,然后打一个结,再按切断时的原样将切口粘合,使得原来切口上相同的点,粘合后仍然是同一个点。这样的变换当然也是拓扑变换,但绝不可能通过捏橡皮泥的办法做到!

捏橡皮泥的科学是奇特而有趣的,有些问题即使想象力很丰富的人,也难免要费一番功夫!

下面是一道玄妙而古怪的问题:有三个橡皮泥做成的环,如同右图套在一起,一个大环穿过两个连在一起的小环。请你用捏橡皮泥的办法(注意!既不能拉断,也不允许把分开的部分捏合),把其中的一个小环从大环中脱出来,变成左下图那样。

初学的读者可能对此感到不可思议!下图将使你看到一种精妙绝伦的捏法。只有在拓扑学中才有机会领略这种人世间罕见的奇迹!

下面是又一道妙题,对读者来说那是一道绝好的练习。有了上面的范例,想必读者将会满怀信心地去品尝拓扑奇观带给人们的无穷趣味!

右下图是由橡皮泥做成的三个环,第三个环与头两个环相连,而头两个环则相互套着。请问,你能否用捏橡皮泥的办法,把它捏成箭头方向所示的,两个连结着的环?

为了让读者想象力有一个尽情发挥的机会,我们特意把解答留在本节的末尾。不过,要告诉读者的是:问题的要求是一定能够做到的!

为了让读者想象力有一个尽情发挥的机会,我们特意把解答留在本节的末尾。不过,要告诉读者的是:问题的要求是一定能够做到的!

可能有的读者会问:既然拓扑学中允许一个空间形体,像橡皮泥那样捏来捏去,那么在我们生活着的空间里,什么样的形体才称得上本质不一样的呢?也就是说,应该怎样对空间图形进行拓扑分类呢?这的确是一个新鲜而有趣的问题。(www.xing528.com)

先看一个平面上的简单例子。大家知道:在26个大写的英语字母中,有一些字母能够像橡皮筋那样,通过弹性的弯曲和伸缩,由一个而变为另一个的。我们把凡是能通过弹性变形从一个变为另一个的,归为同一类。这样,26个大写英语字母便能分为若干类。不同类之间则是不可变的。例如,以下各行字母分别属于不同的类:

C L M N S U V W Z;

K X;

E F J T V;

D O;

……

读者完全可以自行把上面的字母表继续下去,并探讨一下各类字母具有什么共同的特征?我想聪明的读者是不难发现其间的规律的!

空间的情形自然要复杂很多。不过,有一点是肯定的:凡是能通过捏橡皮泥的办法变换得到的图形,一定属于拓扑同类。一般地,在拓扑学中数学家们提出的分类依据是:看一个图形需要切几刀才能变为像球那样的简单闭曲面。例如,一个环面需要切一刀才能变换为球面(环面上的洞对于拓扑学分类的定义来说,只占很次要的地位),而以下的图形则需切

两刀才能变换为球面。数学家们正是根据这种需要切的刀数,以及曲面的单侧性和双侧性对图形进行分类的。上图中的两个迥然相异的图形,在拓扑学中竟然能够属于同一类,这大约是许多读者所万万没有料到的!

最后,我想读者一定很想知道,自己对那道“三环变两环”的巧捏橡皮泥的问题,是否想象得对头,以下解答可供参照,但愿你能成功!

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