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拓展目标
1.提升三种数学素养:数感,运算能力,模型思想。
2.学习两类思维方法:分类法,逐步调整法。
3.掌握三项基本技能:学会“一位一截”看差法,“三位一截”看差法,会把合数转化成质数来判断数的整除性。
活动1 一位一截
判断813598632,4192705,1265,7635能否被11整除。
分析 能被11整除的数的特征:奇位和与偶位和的差能被11整除,那么原数就能被11整除。
我们把一个数从个位算起的第1位、第3位、第5位……统称为奇数位。例如,813598632中的“2”“6”“9”“3”“8”位于奇数位,这些数的和称为奇位和。把一个数从右往左数的第2位、第4位、第6位……统称为偶数位。例如,813598632中的“3”“8”“5”“1”位于偶数位,这些数的和称为偶位和。
解答 (1)813598632的奇位和为2+6+9+3+8=28,偶位和为3+8+5+1=17,两和相减的差为28-17=11,11能被11整除,所以813598632能被11整除;
(2)4192705的奇位和与偶位和的差为25-3=22,22能被11整除,所以4192705能被11整除;
(3)1265的奇位和与偶位和的差为7-7=0,0能被11整除,所以1265能被11整除;
(4)7635不能被11整除。
答:813598632,4192705,1265能被11整除,7635不能被11整除。
方法点睛
11的整除特征:一位一截求差法。
活动2 三位一截
判断2684957这个七位数能不能被7,11或13整除。
分析 能被7,11,13整除的数的特征:从数的个位开始三位一截,再标上奇偶位,把奇数位上的数相加,偶数位上的数相加,然后把两个和相减(以大减小)看差,如果差能被7,11,13整除,那么原数也能被7,11,13整除。
整除特征2
解答 先求出奇位和是957+2=959,偶位和是684。再用两和相减得959-684=275,再用所得差依次除以7,11,13这三个数,验商判断:275÷7=39……2;275÷11=25;275÷13=21……2。
答:这个七位数能被11整除,不能被7和13整除。
方法点睛
7,11,13的整除特征:三位一截求差法。
活动3 拆分合数
注意:a+b+c不可能大于27。想一想,这是为什么?
活动4 综合判断
解答 利用整除特征进行判断,排除不符合条件的数。
(1)能同时被2和5整除,该数的个位一定为0,所以c=0;
(2)能被9整除的数也能被3整除,则该数的数字和能被9整除,而2+0+1+3=6,所以a,b,c之和可为3或12,故后三位可能的形式为300,030,120,210,930,390,840,480,750,570,660;
(3)能被2,3整除的数也能被6整除;(www.xing528.com)
(4)能被8整除的数也能被4整除,则该数的后三位能被8整除,结合能被9整除数的特征,所以符合条件的有120,840,480;
(5)能被7整除的数的特征是“三位一截看差”。代入验证,480+2-13=469,而469÷7=67,能被7整除。
答:这个七位数末三位数字组成的三位数是480。
方法点睛
整除问题中,涉及2,3,5,7,9,11,13整除特征的,一般先判断2和5,再考虑3,9和11,最后用7和13去验证。
整除进阶歌
判断十一整除数,一位一截分奇偶,
分别求出数字和,比较两和就明了。
七与十三同家族,三位一截去看差,
十一同样也适用,记住特征别混淆。
思维小训练
1.判断下面这些数的整除性。
89180,2002,6149,104232115,16273213,45249281,500500。
(1)能被11整除的数:____________________________________;
(2)能被7整除的数:_____________________________________;
(3)能被13整除的数:___________________________________。
5.在1~200这200个自然数中,所有能被7整除与能被11整除的数之和是多少?
6.在356后面补上3个数字组成一个六位数,使这个六位数能同时被3,4,5整除,符合条件的六位数中最小的是多少?
思维小达人
一个七位数,它被3除余2,被4除余2,被11恰好整除,已知这个七位数的前五位是27809,那么它的后两位数是________。
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