矩形截面偏心受压构件的非对称配筋计算及承载力校核

偏心受压构件，其截面尺寸一般是预先估算确定的，主要是确定配筋的数量。大小偏心受压构件的配筋计算公式不同，因此应首先判别偏心受压的类型，根据截面的相对受压区高度来分类，当≤_b时为大偏压；当>_b时则为小偏压。但由大、小偏压承载力计算的基本公式（7-16）、式（7-17）、式（7-20）、式（7-21）可以看出，当A_s和A′_s未确定之前，x值是无法确定的，也无法根据来判定大小偏压。所以只能根据偏心情况来确定设计方法。

根据设计经验和理论分析，对于非对称配筋的偏心受压构件，在常用的配筋范围内可以采用如下条件来判别大小偏压：

当e_i≤0.3h₀时，按小偏心受压计算；

当e_i>0.3h₀时，按大偏心受压计算。

在承载力校核时不应像截面配筋设计那样按偏心距e₀的大小来作为两种偏心受压情况的分界。因为在截面尺寸、偏心距以及配筋面积A_s、A′_s均已确定的条件下，受压区高度即已确定。所以应根据x的大小或的大小来判别大、小偏压。

1.大偏心受压构件截面设计

（1）已知b，h，f_c，f_y，f′_y，M，N，求A_s，A′_s

当e_i>0.3h₀时可按大偏心受压设计，由大偏心受压的基本公式（7-16）和式（7-17）可以看出，两个方程共有A_s、A′_s及x三个未知数，因此可求得无数解答。其中最经济合理的解答是能使用钢量最少（这一点应根据国情）。要使用钢量最少，就应充分利用受压区混凝土的抗压作用。可补充一条件，令x=_bh₀，代入式（7-17）可得

对于所求出的A′_s要进行判定，以确定A_s的计算方法。

（2）已知b，h，f_c，f_y，f′_y，M，N，A′_s，求A_s

此种情况即为已知A′_s 求A_s，为了利用图表可将式（7-17）写成

Ne=α₁α_sbh²₀f_c+A′_sf′_y（h₀-a′_s） （7-25）

式中 α_s=（1-0.5）

由式（7-25）可得

根据α_s由下式计算值

x=h₀应根据求解出的受压区高度x来确定A_s的计算方法。

设计中出现x<2a′_s的情况，说明受压区高度很小，受压钢筋的应变ε′_s亦很小，σ′_s=ε′_sE_s，达不到屈服强度，所以基本公式已经不适用。此时可对受压筋A′_s取矩（图7-23）并近似认为受压区混凝土的合力通过A′_s重心，

图7-26 x<2a′s

在已知A′_s求A_s的情况下还可能会出现由式（7-26）求出的α_s>α_s，max=_b（1-0.5_b），这说明A′_s过小，可增大A′_s后重新计算；也可按A_s、A′_s均为未知的情况求A′_s和A_s。

【例7-3】 已知：荷载作用下柱的轴向力设计值N=400kN，弯矩M₂=212kN·m，柱端弯矩比，截面尺寸b=300mm，h=400mm，a_s=a′_s=35mm；混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB400，l_c/h=5。

求：钢筋截面面积A′_s及A_s。

【解】 因柱端弯矩比；轴压比；

所以可不考虑附加弯矩影响。

e_i=e₀+e_a=（530+20）mm=550mm>0.3h₀=109.5mm，可按大偏压情况计算。

e=e_i+h/2-a_s=（550+400/2-35）mm=715mm

令=_b

受压钢筋A′_s选用214+212（A′_s=308+226=534mm²）。

受拉钢筋A_s选用225+222（A_s=982+760=1742mm²）。

【例7-4】 已知条件同【例7-3】，并已知受压钢筋为320（HRB400，A′_s=942mm²）。

求：受拉钢筋截面面积A_s。

【解】 同上例，可不考虑附加弯矩影响。

实配325（A_s=1473mm²）

比较【例7-3】和【例7-4】可知，当取=_b（x=_bh₀）时求出的总用钢量少些。

【例7-5】 已知矩形截面偏心受压构件，截面尺寸b×h=400mm×600mm，设计内力组合为M₂=298kN·m，N=500kN，柱端弯矩比，构件计算长度l_c=6.5m，混凝土C30级，钢筋采用HRB400，a_s=a′_s=35mm，试求A_s、A′_s。

因柱端弯矩比，所以需考虑附加弯矩影响。

【解】

（1）计算C_m、M、η_ns

，取ζ_c=1l_c/h=6.5/0.6=10.8，代入式（7-14），得：

e_i=664mm>0.3h₀=169.5mm，可按大偏压情况计算。

e=e_i+h/2-a_s=（664+600/2-35）mm=929mm

（2）计算A′_s，取=_b=0.518

按最小配筋率配 A′_s=ρ′_minbh=0.002×400×600mm²=480mm²

实配218 A′_s=509mm²>ρ′_minbh

（3）计算A_s，由式（7-26）得

用式（7-27）计算

x=h₀=0.227×565mm=128.3mm>2a′_s=2×35mm=70mm

所以

实配222+216（A_s=760+402=1162mm²）

【例7-6】 已知一偏心受压构件b×h=300mm×500mm，a_s=a′_s=35mm，N=300kN，M₂=200kN·m，杆端弯矩比，混凝土C30级，钢筋采用HRB400，受压筋为420（A′_s=1256mm²），构件计算长度l_c=4m。

求受拉钢筋面积A_s。

【解】 因杆端弯矩比，所以需考虑附加弯矩影响。

l_c/h=4/0.5=8

，取ζ_c=1

e_i>0.3h₀，故按大偏压计算。

e=e_i+h/2-a_s=（707+500/2-35）mm=922mm

由式（7-26）得

由式（7-27）得

由式（7-28）得

实配418（A_s=1017mm²）

2.小偏心受压构件截面设计

当e_i≤0.3h₀时可按小偏心受压设计。由于小偏压构件离纵向力较远一侧的钢筋A_s不屈服，钢筋的应力σ_s是的函数，当把式（7-22）或式（7-23）表示的钢筋应力σ_s代入到小偏压承载力计算的基本公式（7-20）中去可以看出，小偏压两个基本计算公式中[式（7-20）、式（7-21）]含有三个未知量即A_s，A′_s，x（或）因此必须补充一个条件，才能求解A_s和A′_s。

补充条件的建立应考虑经济、可靠。因离纵向力较远一侧的钢筋A_s一般情况下不屈服，所以，可取A_s=ρ′_minbh，这种取法当偏心距相对较大（e_i比较接近0.3h₀）是可行的。但是，当轴向力N很大且偏心距很小时，取A_s=ρ′_minbh显然是不安全的，因为由于A_s配置过少，此时，破坏可能始自A_s一侧（压坏）。为了避免这种破坏的发生，《规范》规定，当N>f_cA时，尚应根据图7-27所示计算应力图形，按下列公式进行验算：

初始偏心距e_i=e₀-ea

得：

所以对于小偏心受压构件在确定离纵向力较远一侧的钢筋面积A_s时应由两个条件控制即

A_s≥ρ′_minbh(www.xing528.com)

且 A_s≥由式（7-29）确定的面积

当A_s选定后，即可将A_s代入基本式（7-20）、式（7-21），并取，则可得出关于受压区高度x（或）的一元二次方程，经整理可得：

Ax²+Bx+C=0

式中 A=0.5α₁f_cb （7-30a）

图 7-27

a）实际应力图形 b）计算应力图形

所以，受压区高度

当x确定之后即可由式（7-21）求得A′s

当x>h时，取x=h进行计算。

【例7-7】 已知：矩形截面偏心受压构件，截面尺寸b×h=400mm×600mm，设计内力N=3100kN，M₂=80kN·m，构件两端弯矩比，计算长度l_c=7.2m，混凝土C30级，钢筋为HRB400，试求钢筋面积A_s、A′_s。

【解】

（1）计算C_m、η_ns、M、e_i

故按小偏压设计

e=e_i+h/2-a_s=（65+300-35）mm=330mm

e′=h/2-e_i-a′_s=（300-65-35）mm=200mm

（2）计算A_s

因N<f_cA

实配414 A_s=615mm²

（3）计算受压区高度x

由式（7-30），知

所以

实配216+214，A′_s=710mm²

3.偏心受压构件的承载力校核

偏心受压构件，当已知构件截面尺寸、偏心距的大小、构件计算长度、混凝土和钢筋的强度等级、钢筋的截面面积A_s和A′_s，进行承载力校核时，一般情况要先求出受压区高度x，然后计算出N_u，如果γ₀N≤N_u则证明是安全的，否则是不安全的。

（1）大偏心受压构件 大偏心受压构件受压区高度x（图7-21），可由对纵向压力作用点取矩求得：

所以

当纵向压力作用在A_s、A′_s之间取正号；纵向压力作用在A_s、A′_s之外取负号。

1）当2a′_s≤x≤_bh₀时，则可用大偏心受压的基本公式（7-16）确定截面的承载力N_u，然后与已知的N比较看其是否安全。

2）当x<2a′_s时，证明压筋A′_s不屈服，此时，可由式（7-28）确定截面承载力，即。

3）当x>_bh₀时则应按小偏心受压构件进行正截面承载力校核。

（2）小偏心受压构件 小偏心受压构件的受压区高度x（图7-23），同样也可由对纵向压力作用点取矩求得：

式中钢筋应力σ_s可采用简化式，以降低方程的次数（如采用精确式则需解x或的三次方程），即取

将σ_s代入式（7-32）可得x的一元二次方程

即 A′x²+B′x+C′=0

式中 A′=0.5α₁f_cb （7-33a）

将求得的x值（x>_bh₀）代入式（7-23）即可求出钢筋的应力σ_s。

此时截面的承载力为

N_u=α₁f_cbx+A′_sf′_y-A_sσ_s

如果γ₀N≤N_u则是安全的，否则是不安全的。

在偏心受压构件承载力校核时，经常会碰到无法判定究竟属于大偏压还是小偏压情况。此时可先按大偏压进行承载力校核，当按式（7-31）计算的x≤_bh₀时，则证明确实属于大偏压，如果x>_bh₀时则证明原来假定大偏压是错误的，实际为小偏压，应重新按式（7-33）求x，按小偏压进行承载力校核。

承载力校核时，虽然不能直接根据偏心距的大小来判定大、小偏压，但也可以参考。例如当e_i>0.3h₀时，可先按大偏压进行校核；当e_i<0.3h₀时可先按小偏压进行校核；但最后还是要根据x值或值的大小来判定大小偏压，偏心距只不过起个参考作用。

还应指出，对于截面配筋设计，因为N是已知的，ζ_c、η_ns可以很方便的求出。而在承载力校核时，因M_u、N_u是待求的未知数，所以在M_u、N_u解出之前ζ_c、η_ns是未知的，必须对η_ns进行假设（如假定η_ns、C_m为1）然后计算x和承载力N_u，此时的N_u有可能与η_ns假定为1相矛盾，还需重新计算η_ns，然后重新计算N_u，直到两者相协调为止。

（3）偏心受压构件垂直于弯矩作用平面的承载力校核

偏心受压构件除进行弯矩作用平面的承载力校核外，还应进行垂直于弯矩作用平面（平面外）的承载力校核。因为偏心受压构件还可能由于柱子长细比较大，在与弯矩作用平面相垂直的平面内发生纵向弯曲而破坏。在这个平面内是没有弯矩的，因此应按轴心受压进行承载力校核，计算时长细比为，必须考虑稳定系数φ。

【例7-8】 已知：一矩形截面偏心受压构件b×h=500mm×700mm，a_s=a′_s=35mm，构件两端弯矩之比，混凝土强度等级为C30，采用钢筋为HRB400，f_y=360MPa，_b=0.52，A_s为625（A_s=2945mm²），A′_s为425（A′_s=1964mm²），构件计算长度l_c=12.25m，轴向力的偏心距e₀=460mm。

求：截面所能承受的轴向力设计值N

【解】 （1）假设C_m、η_ns为1，即先忽略附加弯矩影响。

e_i=e₀+e_a=（460+23）mm=483mm

e=e_i+h/2-a_s=（483+700/2-35）mm=798mm

e′=e_i-h/2+a′_s=（483-700/2+35）mm=168mm

（2）求受压区高度x

由式（7-31）可得

故按大偏压进行承载力校核是正确的。

N=α₁f_cbx+A′_sf′_y-A_sf_y=（14.3×500×337+1964×360-2945×360）N=2056390N=2056kN

，取等于1，η_ns=1.324，迭代结束，N=1553164.7N=1553kN

平面外承载力校核略。

【例7-9】 已知：矩形截面偏心受压构件，构件两端弯矩之比，截面尺寸b×h=250mm×550mm，a_s=a′_s=35mm，构件计算长度l₀=4.5m，混凝土为C20，钢筋为HRB335，_b=0.55，受压钢筋为422（A′_s=1520mm²），受拉钢筋为214（A_s=308mm²），承受偏心距e₀=65mm的设计偏心压力N=1500kN，试校核承载力是否满足要求。

【解】 （1）e₀=65mm，e_a=20mm

e_i=e₀+e_a=85mm<0.3h₀=154.5mm

故此时可先按小偏压进行承载力校核（如此时用大偏压承载力校核式（7-31）求x，则可得x>_bh₀，同样可以得出属于小偏压的结论）。

（2）求受压区高度x

e=e_i+h/2-a_s=（85+550/2-35）mm=325mm

e′=h/2-e_i-a′_s=（550/2-85-35）mm=155mm

由式（7-33）可得

A′=0.5α₁f_cb=0.5×9.6×250=1200

舍去一根，取x=477mm>_bh₀=0.55×515mm=283mm故按小偏压进行承载力校核是正确的。

（3）求σ_s

（4）计算N_u

N_u=α₁f_cbx+A′_sf′_y-A_sσ_s=9.6×250×477+1520×300-（-151.5）×308=1647462N>N

（5）垂直于弯矩作用平面的承载力校核

查表7-1 φ=0.81

N_u=0.9φ[Af_c+（A′_s+A_s）f′_y]=0.9×0.81×[250×550×9.6+（1520+308）×300]N=1362064N=1362kN<N

（6）结论 N=1500kN>N_u=1363kN 不满足承载力要求，由平面外承载力控制。