几何概率的计算方法与应用

在概率论发展的早期,人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限的情况是不够的,还必须考虑试验结果是无限的情况。为此可把无限个试验结果用欧氏空间的某一区域S 表示,其试验结果具有所谓“均匀分布”的性质,关于“均匀分布”本书不做数学上的精确定义,只做粗浅的解释,它类似于古典概率中等可能这一概念。假设区域S 以及其中任何可能出现的小区域A 都是可以度量的,其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示。如一维空间的长度,二维空间的面积,三维空间的体积等。并且假定这种量度具有如长度一样的各种性质,如量度的非负性、可加性等。

设某一事件A(也是S 中的某一区域),A⊂S,它的量度大小为μ(A),若以P(A)表示事件A 发生的概率,考虑“均匀分布”性,事件A 发生的概率取为

这样计算的概率,称为几何概率。

若∅是不可能事件,即∅为Ω 中的空的区域,其量度大小为0,故其概率

例1.7.1 在时间间隔T 内的任何瞬间,两不相关的信号均等可能地进入收音机,如果当且仅当这两个信号进入收音机的间隔时间不大于t,则收音机受到干扰,试求收音机受到干扰的概率。

解 以x 及y 分别表示两个信号进入收音机的瞬间,由假定

则样本空间是由点(x,y)构成的边长为T 的正方形Ω,其面积为T2,如图1.7.1所示。

依题意,收音机受到干扰的充分必要条件为

该区域为图1.7.1中的区域A,它位于区域Ω 内直线x-y=t及x-y=-t之间,其面积为S=T2-(T-t)2。由式(1.7.1)得所求概率为

从式(1.7.1)可以看到,当t相对T 来说很小时,即假设两信号进入收音机的间隔很短时才产生干扰,而可能进入收音机的时间间隔较长时,收音机受干扰的概率p≈0;另外,当t=T时,则有P=1,它表明受干扰的时间间隔t与信号可能进入收音机的时间间隔T 差不多相等时,则收音机以概率为1地受干扰。以上结果在直观上是明显的。

图1.7.1(www.xing528.com)

例1.7.2(蒲丰针问题) 在平面上画有等距离为a(a＞0)的一些平行线,向平面上随意投掷一长为l(l＜a)的针,试求针与一平行线相交的概率。

解 令M 表示针的中点,x 表示针投在平面上与M 最近一条平行线的距离,φ 表示针与最近一条平行线的交角,如图1.7.2所示。

容易看出0≤x≤a/2,0≤φ≤π。假定取直角坐标,如图1.7.3所示,则前式表示xOφ 坐标系中的一个矩形G,而x≤(l/2)sinφ 是使针与平行线(此线必为与M 点最近的平行线)相交的充分必要条件,上面不等式表示图1.7.3中阴影部分g。我们把抛掷针到平面上这件事理解为具有“均匀性”。因此,这个问题等价于向区域G 中“均匀分布”地投掷点,而求点落入g中的概率P,由式(1.7.1)得

图1.7.2

图1.7.3

在计算几何概率时,一开始就假定点具有“均匀分布”,这一点在求具体问题中的概率时,必须十分注意,否则可能得出不同或者完全错误的结果。

例1.7.3 向半圆Ω={(x,y);x2+y2≤4x}内均匀地投掷一随机点Q,试求事件A={Q与原点连线和横轴的夹角小于π/4}的概率α。

解 以(X,Y)表示随机点Q 的坐标。Ω 是以(2,0)为圆心以2为半径的半圆。设A 表示事件“(X,Y)与原点连线和横轴的夹角小于π/4”,且(X,Y)∈Ω;G 为半圆内横轴与弦OB 所夹的区域(图1.7.4),则事件A={(X,Y)∈G}。半圆的面积S(Ω)=2π,区域G 的面积

其中S1 是四分之一圆BCD 的面积,S2 是△OBC 的面积。由几何概率的计算公式,有

图1.7.4