结构分析有限元程序应用：板壳单元及形状指标

在工程中广泛使用的板壳结构，由于它具有在几何上有一个方向的尺度比其他两个方向小得多的特点，在结构力学中需引入一定的假设，使之简化为二维问题。它可以使计算量得到很大的缩减，同时也可以避免因求解方程系数矩阵的元素间相差过大而造成的困难。

板壳单元按对象可分为三类：膜单元、板单元和壳单元。

膜单元只具有平面内的刚度，承受膜力，建筑结构中楼板通常用膜单元来模拟；板单元的行为与膜单元相反，只具有平面外的刚度，承受弯曲力，模拟薄梁或地基梁等；壳单元的力学行为是膜单元和板单元之和，是真正意义上的壳单元。壳刚度采用4～8点可变数值积分计算。在单元局部坐标系中，计算2×2高斯积分点处的应力、内力和力矩，并外插到单元节点。单元应力或内力的近似误差可用连接于同一节点的不同单元的计算结果的差值估算。

每个壳单元（或其他类型面对像/单元）可能是以下形状之一（图3-11）：

图3-11　壳单元局部坐标系及节点自由度

四边形：由4个节点j1、j2、j3、j4定义。

三角形：由3个节点j1、j2、j3定义。

二者中，四边形单元精度更高，三角形单元建议只用于过渡。虽然三节点单元的刚度计算是合理的，但应力求解精度却有欠缺。四边形单元用于不同几何形状和网格过渡，如图3-12。

图3-12(www.xing528.com)

面单元长边与短边距离的比值，称为形状比。形状比在评价应力为主时不要超过1/3，评价位移为主时不要超过1/5。非线性分析时，形状比的作用比非线性分析时更敏感。图3-13列举了四边形单元和三角形单元形状比（A）的计算方法。

图3-13　四边形单元和三角形单元形状比

用倾斜角α表示单元偏离直角四边形的程度，倾斜角不要超过45°，四边形所有内角β应在45°至135°之间，注意内角必须小于180°，如图3-14：

图3-14　衡量四边形单元与三角形单元的偏离指标

壳单元在每个节点总共有6个自由度。当单元被作为纯膜来使用时，用户必须确保约束或其他支座提供法向平动和弯曲转动自由度；当一个单元被当作一个纯板来使用时，工程师必须确保约束或其他支座提供面内平动和关于法向轴的转动自由度。对三维结构，建议使用完全壳（膜+板）行为。

荷载和内力输出：

壳单元可承受自重荷载、均布荷载以及表面压力荷载和温度荷载。对于一个壳单元，自重是一个均布在单元平面的力，自重荷载总是作用向下，在整体-Z方向。均布荷载用于在壳单元中面上施加均布力，荷载密度用每单位面积上的力表示，在不同坐标系中指定的荷载密度将被转换到单元局部方向的总力等于该方向的总荷载密度乘以中面面积，该力将被分配到单元节点上。

壳单元内力（也称为应力合力）是在整个单元厚度上积分应力而得的力和弯矩。这些应力合力是平面内单位长度的力和弯矩，它们存在于单元中间面的每一点。正内力相应于在整个厚度上恒定的正应力状态。故正应力由内力计算得到，横向剪力为平均值，实际的剪力分布呈抛物线形，在顶部和底部为零且在单元中间面为一最大值或最小值。在单元的标准2×2高斯积分点计算应力和内力，且向外插值到节点。虽然它们在节点给出值，但应力和内力存在于整个单元中。