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定积分计算方法:换元积分法及相关公式

时间:2023-10-29 理论教育 版权反馈
【摘要】:定积分计算的基础是定积分基本性质、基本积分公式及牛顿-莱布尼茨公式,但还应掌握一些计算方法,以快捷地算出定积分,它们主要如下所述.4.1换元积分法如果,则作变量代换t=u(x)得,由此当它容易计算时,就算得如果不能作上述处理时,则作适当的变量代换x=φ(t),使得,因此当右边定积分较易计算时,就可算出此外,有时对作适当的变量代换,得到关于I的一个方程,解此方程得到的值;或者将表示成,对其中一个,例

定积分计算方法:换元积分法及相关公式

定积分计算的基础是定积分基本性质、基本积分公式及牛顿-莱布尼茨公式,但还应掌握一些计算方法,以快捷地算出定积分,它们主要如下所述.

4.1换元积分法

如果978-7-111-49735-6-Part03-160.jpg,则作变量代换t=ux)得978-7-111-49735-6-Part03-161.jpg,由此当它容易计算时,就算得978-7-111-49735-6-Part03-162.jpg

如果978-7-111-49735-6-Part03-163.jpg不能作上述处理时,则作适当的变量代换x=φt),使得978-7-111-49735-6-Part03-164.jpg978-7-111-49735-6-Part03-165.jpg,因此当右边定积分较易计算时,就可算出978-7-111-49735-6-Part03-166.jpg

此外,有时对978-7-111-49735-6-Part03-167.jpg作适当的变量代换,得到关于I的一个方程,解此方程得到978-7-111-49735-6-Part03-168.jpg的值;或者将978-7-111-49735-6-Part03-169.jpg表示成978-7-111-49735-6-Part03-170.jpg,对其中一个,例如978-7-111-49735-6-Part03-171.jpg作变量代换而产生一个新的定积分与978-7-111-49735-6-Part03-172.jpg抵消,从而算出978-7-111-49735-6-Part03-173.jpg

4.2分部积分法

fx)dx适当地写成ux)dvx),则

如果978-7-111-49735-6-Part03-175.jpg较易计算,则可算出978-7-111-49735-6-Part03-176.jpg

有时,对978-7-111-49735-6-Part03-177.jpg连续使用若干次分部积分法后得到关于I的一个方程,解此方程得到978-7-111-49735-6-Part03-178.jpg的值;或者将I表示成978-7-111-49735-6-Part03-179.jpg,对其中之一,例如978-7-111-49735-6-Part03-180.jpg施行分部积分法产生的一个新的定积分与978-7-111-49735-6-Part03-181.jpg抵消,由此算得978-7-111-49735-6-Part03-182.jpg的值.

此外,分部积分法往往与换元积分法相结合,有效地计算定积分.

4.3利用奇、偶函数和周期函数的定积分性质计算

fx)是[-aa]上的连续函数,则

fx)是连续函数,且以TT>0)为周期的周期函数,则

例4.1 求下列定积分:

精解 978-7-111-49735-6-Part03-186.jpg

例4.2 求下列定积分:(www.xing528.com)

精解 978-7-111-49735-6-Part03-189.jpg

例4.3 求下列定积分:

精解 978-7-111-49735-6-Part03-192.jpg

978-7-111-49735-6-Part03-193.jpg,所以978-7-111-49735-6-Part03-194.jpg

I=2-I.所以I=1.

例4.4 计算定积分978-7-111-49735-6-Part03-196.jpg

精解 978-7-111-49735-6-Part03-197.jpg

I=3eπ-3-4I.所以978-7-111-49735-6-Part03-198.jpg

例4.5 计算下列定积分:

精解 978-7-111-49735-6-Part03-200.jpg

例4.6 计算下列定积分:

精解 (1)积分区间是对称的,但被积函数是非奇非偶函数,因此将它表示为

所以 978-7-111-49735-6-Part03-205.jpg

(2)积分区间是对称的,但被积函数是非奇非偶函数,因此将它表示为

所以 978-7-111-49735-6-Part03-207.jpg

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