定积分计算方法：换元积分法及相关公式

定积分计算的基础是定积分基本性质、基本积分公式及牛顿-莱布尼茨公式，但还应掌握一些计算方法，以快捷地算出定积分，它们主要如下所述.

4.1换元积分法

如果，则作变量代换t=u（x）得，由此当它容易计算时，就算得

如果不能作上述处理时，则作适当的变量代换x=φ（t），使得，因此当右边定积分较易计算时，就可算出

此外，有时对作适当的变量代换，得到关于I的一个方程，解此方程得到的值；或者将表示成，对其中一个，例如作变量代换而产生一个新的定积分与抵消，从而算出

4.2分部积分法

将f（x）dx适当地写成u（x）dv（x），则

如果较易计算，则可算出

有时，对连续使用若干次分部积分法后得到关于I的一个方程，解此方程得到的值；或者将I表示成，对其中之一，例如施行分部积分法产生的一个新的定积分与抵消，由此算得的值.

此外，分部积分法往往与换元积分法相结合，有效地计算定积分.

4.3利用奇、偶函数和周期函数的定积分性质计算

设f（x）是[-a，a]上的连续函数，则

设f（x）是连续函数，且以T（T>0）为周期的周期函数，则

例4.1 求下列定积分：

精解

例4.2 求下列定积分：(www.xing528.com)

精解

例4.3 求下列定积分：

精解

即，所以

即 I=2-I.所以I=1.

例4.4 计算定积分

精解

即 I=3e^π-3-4I.所以

例4.5 计算下列定积分：

精解

例4.6 计算下列定积分：

精解 （1）积分区间是对称的，但被积函数是非奇非偶函数，因此将它表示为

所以

（2）积分区间是对称的，但被积函数是非奇非偶函数，因此将它表示为

所以