【摘要】:定积分计算的基础是定积分基本性质、基本积分公式及牛顿-莱布尼茨公式,但还应掌握一些计算方法,以快捷地算出定积分,它们主要如下所述.4.1换元积分法如果,则作变量代换t=u(x)得,由此当它容易计算时,就算得如果不能作上述处理时,则作适当的变量代换x=φ(t),使得,因此当右边定积分较易计算时,就可算出此外,有时对作适当的变量代换,得到关于I的一个方程,解此方程得到的值;或者将表示成,对其中一个,例
定积分计算的基础是定积分基本性质、基本积分公式及牛顿-莱布尼茨公式,但还应掌握一些计算方法,以快捷地算出定积分,它们主要如下所述.
4.1换元积分法
如果,则作变量代换t=u(x)得,由此当它容易计算时,就算得
如果不能作上述处理时,则作适当的变量代换x=φ(t),使得,因此当右边定积分较易计算时,就可算出
此外,有时对作适当的变量代换,得到关于I的一个方程,解此方程得到的值;或者将表示成,对其中一个,例如作变量代换而产生一个新的定积分与抵消,从而算出
4.2分部积分法
将f(x)dx适当地写成u(x)dv(x),则
如果较易计算,则可算出
有时,对连续使用若干次分部积分法后得到关于I的一个方程,解此方程得到的值;或者将I表示成,对其中之一,例如施行分部积分法产生的一个新的定积分与抵消,由此算得的值.
此外,分部积分法往往与换元积分法相结合,有效地计算定积分.
4.3利用奇、偶函数和周期函数的定积分性质计算
设f(x)是[-a,a]上的连续函数,则
设f(x)是连续函数,且以T(T>0)为周期的周期函数,则
例4.1 求下列定积分:
精解
例4.2 求下列定积分:(www.xing528.com)
精解
例4.3 求下列定积分:
精解
即,所以
即 I=2-I.所以I=1.
例4.4 计算定积分
精解
即 I=3eπ-3-4I.所以
例4.5 计算下列定积分:
精解
例4.6 计算下列定积分:
精解 (1)积分区间是对称的,但被积函数是非奇非偶函数,因此将它表示为
所以
(2)积分区间是对称的,但被积函数是非奇非偶函数,因此将它表示为
所以
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