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计算机实验工程图形学下册-平面曲线切线法线方程与作图

时间:2023-11-01 理论教育 版权反馈
【摘要】:例4-3 求星形线的切线、法线。解 将参数方程化为极坐标方程为则切线方程为法线方程为由、得所以只要过M点作线平行于OD即得切线MT,而法线即为MD,如图4-7所示。图4-7 渐开线的切线、法线作法例4-5 求双钮线r2=2a2cosθ的切线、法线。以上几例均为已知曲线求切线、法线,也可根据曲线在某一点的切线来确定曲线的形状。

计算机实验工程图形学下册-平面曲线切线法线方程与作图

1.显式表示

设曲线为y=fx),斜率为tanα=y′,则曲线在点Mx0y0)处的切线方程为

y-y0=y0x-x0) (4-3)

法线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-11.jpg

由图4-3可知切距

978-7-111-46865-3-Chapter04-12.jpg

次切距

978-7-111-46865-3-Chapter04-13.jpg

法距

978-7-111-46865-3-Chapter04-14.jpg

978-7-111-46865-3-Chapter04-15.jpg

图4-3 平面曲线的切距、次切距、法矩和倾斜度

切线倾斜度

tanα=y0 (4-9)

2.隐式表示

设曲线的隐式表示为Fxy)=0,曲线在Mx0y0)点处的切线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-16.jpg

法线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-17.jpg

3.参数表示

设曲线的参数表示为x=xt),y=yt),曲线在Mx0y0)点处的切线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-18.jpg

法线方程为

x′t0)[x-xt0)]+y′t0)[y-yt0)]=0 (4-13)

4.极坐标表示

切线方程的建立,由图4-4可知

978-7-111-46865-3-Chapter04-19.jpg

在直角坐标系中

978-7-111-46865-3-Chapter04-20.jpg

图4-4 曲线线切方程的建立依据

x=ρθ)cosθ

y=ρθ)sinθ

所以有

978-7-111-46865-3-Chapter04-21.jpg

因为

978-7-111-46865-3-Chapter04-22.jpg

又因为

978-7-111-46865-3-Chapter04-23.jpg

由此得切线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-24.jpg

法线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-25.jpg

切距

978-7-111-46865-3-Chapter04-26.jpg

法距

978-7-111-46865-3-Chapter04-27.jpg

次切距

978-7-111-46865-3-Chapter04-28.jpg

次法距

978-7-111-46865-3-Chapter04-29.jpg

5.平面曲线的切线、法线的作图方法

例4-2椭圆978-7-111-46865-3-Chapter04-30.jpgM点处的切线、法线方程,并作出切线、法线。

先由椭圆方程求出FxFy

978-7-111-46865-3-Chapter04-31.jpg

再将FxFy,代入式(4-10)和式(4-11)中,得切线、法线方程分别为

978-7-111-46865-3-Chapter04-32.jpg

切线、法线的作法如图4-5所示。

1)由M点的x0坐标作978-7-111-46865-3-Chapter04-33.jpg,在X轴上得PD两点。

2)在y轴上取E点使OE=a并将ED两点的直线段相连。

3)过E点作ETDEX轴于T点。

978-7-111-46865-3-Chapter04-34.jpg

图4-5 椭圆的切线、法线作法

4)以直线连TM两点,TM即为切线。

5)过M点作MNMTMN即为法线。

例4-3 求星形线978-7-111-46865-3-Chapter04-35.jpg的切线、法线。

切线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-36.jpg

法线方程为(www.xing528.com)

978-7-111-46865-3-Chapter04-37.jpg

为作图方便,以参数形式表达星形线即

978-7-111-46865-3-Chapter04-38.jpg

由平面曲线知一半径为b的动圆圆周沿另一半径为a的圆周的内部滚动而无滑动时圆周上一点M可描出一条曲线,并且当978-7-111-46865-3-Chapter04-39.jpg时所描的曲线有四支,称为星形线,即由上述参数方程表示,分别对t求导

978-7-111-46865-3-Chapter04-40.jpg

由此可知,过星形线上点M的切线斜率是k=-tant,于是根据星形线的形成及其上一点M的切线斜率可作出切线、法线,如图4-6所示。

1)以O为圆心、978-7-111-46865-3-Chapter04-41.jpg为半径作一圆π。

2)以M点为圆心、978-7-111-46865-3-Chapter04-42.jpg为半径作圆与圆π交于点C

3)以直线连OC两点并延长得端点D,使OD=aODX轴夹角为t

4)过D点作DFX轴,交X轴于F点。

5)在X轴上以F点为起点向右量取978-7-111-46865-3-Chapter04-43.jpg,得G点。

6)连DG两点得DG线,过M点作MTDGMT即为过M点的切线,不难证明MT的斜率为k=-tant

7)过M点作直线MNMTMN即为法线。

978-7-111-46865-3-Chapter04-44.jpg

图4-6 星形线的切线、法线作法

例4-4渐开线

x=aθsinθ+cosθ

y=a(sinθ-θcosθ)的切线、法线。

将参数方程化为极坐标方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-45.jpg

则切线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-46.jpg

法线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-47.jpg

978-7-111-46865-3-Chapter04-48.jpg978-7-111-46865-3-Chapter04-49.jpg978-7-111-46865-3-Chapter04-50.jpg

所以只要过M点作线平行于OD即得切线MT,而法线即为MD,如图4-7所示。

978-7-111-46865-3-Chapter04-51.jpg

图4-7 渐开线的切线、法线作法

例4-5 求双钮线r2=2a2cosθ的切线、法线。

由式(4-14)、式(4-15)可得双钮线的切线、法线方程分别为

978-7-111-46865-3-Chapter04-52.jpg

978-7-111-46865-3-Chapter04-53.jpg

得切线倾斜度

978-7-111-46865-3-Chapter04-54.jpg

即有

978-7-111-46865-3-Chapter04-55.jpg

由此可知,过M点作线MN,使MNOM成夹角2θ0,再过M点作MTOMMT即为切线,而MN为法线,如图4-8所示。

以上几例均为已知曲线求切线、法线,也可根据曲线在某一点的切线来确定曲线的形状。

978-7-111-46865-3-Chapter04-56.jpg

图4-8 双纽线的切线、法线作法

例4-6 已知MT为椭圆978-7-111-46865-3-Chapter04-57.jpg上点Mx0y0)的切线,求椭圆的长轴、短轴,如图4-9所示。

作图步骤如下:

1)过M点作MPOX,并在X轴上取978-7-111-46865-3-Chapter04-58.jpg,得D点。

2)取DT中点S,以S为圆心、SD为半径作圆交Y轴于K点,OK即为长半轴a

978-7-111-46865-3-Chapter04-59.jpg

图4-9 由椭圆切线求其长、短轴

3)在Y轴反向取点E,使978-7-111-46865-3-Chapter04-60.jpg

4)取EN中点S1,以S1为圆心、S1E为半径画圆与X轴交于I点。OI即为椭圆短轴b

椭圆在M点的切线方程为

978-7-111-46865-3-Chapter04-61.jpg

即有

978-7-111-46865-3-Chapter04-62.jpg

y=0时,978-7-111-46865-3-Chapter04-63.jpg可得T点的坐标为978-7-111-46865-3-Chapter04-64.jpg。由此可得

978-7-111-46865-3-Chapter04-65.jpg

S点的x坐标为

978-7-111-46865-3-Chapter04-66.jpg

半径为

978-7-111-46865-3-Chapter04-67.jpg

由此可得

978-7-111-46865-3-Chapter04-68.jpg

同理,由切线方程可知当x=0时,978-7-111-46865-3-Chapter04-69.jpg,可得N点坐标为978-7-111-46865-3-Chapter04-70.jpg,由此可得S1y坐标为

978-7-111-46865-3-Chapter04-71.jpg

半径为

978-7-111-46865-3-Chapter04-72.jpg

由此可得

978-7-111-46865-3-Chapter04-73.jpg

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