1.显式表示
设曲线为y=f(x),斜率为tanα=y′,则曲线在点M(x0,y0)处的切线方程为
y-y0=y0′(x-x0) (4-3)
法线方程为
由图4-3可知切距
次切距
法距
图4-3 平面曲线的切距、次切距、法矩和倾斜度
切线倾斜度
tanα=y0′ (4-9)
2.隐式表示
设曲线的隐式表示为F(x,y)=0,曲线在M(x0,y0)点处的切线方程为
法线方程为
3.参数表示
设曲线的参数表示为x=x(t),y=y(t),曲线在M(x0,y0)点处的切线方程为
法线方程为
x′(t0)[x-x(t0)]+y′(t0)[y-y(t0)]=0 (4-13)
4.极坐标表示
切线方程的建立,由图4-4可知
在直角坐标系中
图4-4 曲线线切方程的建立依据
x=ρ(θ)cosθ
y=ρ(θ)sinθ
所以有
因为
又因为
由此得切线方程为
法线方程为
切距
法距
次切距
次法距
5.平面曲线的切线、法线的作图方法
例4-2 求椭圆在M点处的切线、法线方程,并作出切线、法线。
解 先由椭圆方程求出Fx′、Fy′为
再将Fx′、Fy′,代入式(4-10)和式(4-11)中,得切线、法线方程分别为
切线、法线的作法如图4-5所示。
1)由M点的x0坐标作,在X轴上得P、D两点。
2)在y轴上取E点使OE=a并将E、D两点的直线段相连。
3)过E点作ET⊥DE交X轴于T点。
图4-5 椭圆的切线、法线作法
4)以直线连T、M两点,TM即为切线。
5)过M点作MN⊥MT,MN即为法线。
例4-3 求星形线的切线、法线。
解 切线方程为
法线方程为(www.xing528.com)
为作图方便,以参数形式表达星形线即
由平面曲线知一半径为b的动圆圆周沿另一半径为a的圆周的内部滚动而无滑动时圆周上一点M可描出一条曲线,并且当时所描的曲线有四支,称为星形线,即由上述参数方程表示,分别对t求导得
由此可知,过星形线上点M的切线斜率是k=-tant,于是根据星形线的形成及其上一点M的切线斜率可作出切线、法线,如图4-6所示。
1)以O为圆心、为半径作一圆π。
2)以M点为圆心、为半径作圆与圆π交于点C。
3)以直线连O、C两点并延长得端点D,使OD=a,OD与X轴夹角为t。
4)过D点作DF⊥X轴,交X轴于F点。
5)在X轴上以F点为起点向右量取,得G点。
6)连D、G两点得DG线,过M点作MT∥DG,MT即为过M点的切线,不难证明MT的斜率为k=-tant。
7)过M点作直线MN⊥MT,MN即为法线。
图4-6 星形线的切线、法线作法
例4-4 求渐开线
x=a(θsinθ+cosθ)
y=a(sinθ-θcosθ)的切线、法线。
解 将参数方程化为极坐标方程为
则切线方程为
法线方程为
由、得
所以只要过M点作线平行于OD即得切线MT,而法线即为MD,如图4-7所示。
图4-7 渐开线的切线、法线作法
例4-5 求双钮线r2=2a2cosθ的切线、法线。
解 由式(4-14)、式(4-15)可得双钮线的切线、法线方程分别为
由
得切线倾斜度
即有
由此可知,过M点作线MN,使MN与OM成夹角2θ0,再过M点作MT⊥OM,MT即为切线,而MN为法线,如图4-8所示。
以上几例均为已知曲线求切线、法线,也可根据曲线在某一点的切线来确定曲线的形状。
图4-8 双纽线的切线、法线作法
例4-6 已知MT为椭圆上点M(x0,y0)的切线,求椭圆的长轴、短轴,如图4-9所示。
作图步骤如下:
1)过M点作MP⊥OX,并在X轴上取,得D点。
2)取DT中点S,以S为圆心、SD为半径作圆交Y轴于K点,OK即为长半轴a。
图4-9 由椭圆切线求其长、短轴
3)在Y轴反向取点E,使。
4)取EN中点S1,以S1为圆心、S1E为半径画圆与X轴交于I点。OI即为椭圆短轴b。
证 椭圆在M点的切线方程为
即有
当y=0时,可得T点的坐标为。由此可得
S点的x坐标为
半径为
由此可得
同理,由切线方程可知当x=0时,,可得N点坐标为,由此可得S1点y坐标为
半径为
由此可得
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