前面我们讨论了求幂级数的和函数问题,本节我们讨论相反的问题,即怎样把一个函数用幂级数表示.如果能做到这一点,那么就给我们进一步研究函数带来了方便,因为对于给定的一个函数,如果能够表示成幂级数,由于它的每一项都是幂函数,那么在进行代数运算、解析运算时,都会变得容易.
一、泰勒级数
假设函数f(x)已展开为幂级数,即
则其系数an(n=0,1,2,…)等于什么?
由幂级数可逐项求导的性质,得
将x=x0代入上述各式,得
于是(5-6)式的右端变为
(5-7)式称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.
当x0=0时,(5-7)式变为
(5-8)式称为f(x)的麦克劳林级数.
二、函数展开为麦克劳林级数
1.直接展开法
第一步:求出f(x)的各阶导数f′(x),f′(x),…,f(n)(x),…,如果在x0=0处导数不存在,就停止进行,它就不能展开为x的幂级数.
第二步:求函数及其各阶导数在x0=0处的值
f(0),f′(0),…,f (n)(0),….
第三步:写出幂级数
求出收敛半径R.
例1 将函数f(x)=ex 展开成x的幂级数.
解 因为 f(n)(x)=ex ,f(n)(0)=1
所以
例2 将f(x)=sin x展开成x的幂级数.
当n=0,1,2,3,…时,f(n)(0)依次循环地取0,1,0,-1,于是
2.间接展开法
间接展开法是指从已知函数的展开式出发,利用幂级数的运算性质得到所求函数的幂级数展开式的方法,主要有以下几种方法.(www.xing528.com)
(1)逐项积分,逐项求导法;
(2)变量替换法;
(3)四则运算法.
以下几个展式可作为公式使用.
例3 将函数cosx展开为x的幂级数.
解 将sinx的展式逐项求导,得
例5 将函数f(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数.
解 将式子
两边同时从0到x逐项积分,得
解 因为
且
所以
习题5.4
1.将下列函数展开成x的幂级数,并求出展开式成立的开区间:
综合练习五
一、选择题
二、填空题
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