利用结构的对称性往往可以达到简化计算的目的。对称结构在工程上是常有的。所谓对称结构,即它的几何图形、截面尺寸、材料性质、支承约束对称于对称轴。这种结构将其中的一半绕对称轴旋转180°后,左、右(或上、下)部分将重合在一起。
对称性利用的先决条件是结构为对称的。对称结构的力学特性是:对称结构受对称的外来因素作用时,其反力、内力和位移是对称的;受反对称外来因素作用时,其反力、内力和位移是反对称的。
图7-28(a)为对称结构受一般荷载的情况,可根据叠加原理,把荷载分解为一组对称荷载与一组反对称荷载。
图7-28
图7-28(b)所示为对称结构受对称荷载,而图7-28(c)所示为对称结构受反对称荷载,它们都应该符合对称结构的力学特性。
对称结构在取基本系解除约束时最好解除对称轴上的约束。
图7-29(a)若在横梁中点切开,则基本未知量有而(轴力)、(弯矩)是对称的未知力,(剪力)为反对称的未知力。根据结构的对称性,在对称荷载作用下,只有对称的内力,反对称的未知力为零,如图7-29(b)所示。而受反对称荷载时,对称的未知力为零,如图7-29(c)所示。
图7-29
若不利用结构的对称性,则其力法的典型方程为
此为三元一次联立方程组,经过对称与反对称的简化,可以分解为二元一次联立方程组与一元一次方程。对称荷载作用下为
反对称荷载作用下为
这样分别计算比解三元一次联立方程组要简单。
求出后,按叠加原理,有(www.xing528.com)
图7-29(a)结构最后弯矩图为M=M对称+M反对称
如果该结构的基本系取为三铰刚架,如图7-30(a)所示,在对称荷载作用下两底脚的未知量应符合对称的关系必然等量反向,成为一组未知量,而顶铰处的仍是对称性质的,如图7-30(b)所示,所以典型方程仍为二元一次方程组。而在反对称荷载作用下,要符合对称性,,底脚处的两个未知量亦是成组的,但它是等量同向的,如图7-30(c)所示,典型方程为一元一次方程式。
图7-30
图7-31(a)所示为对称结构受一般荷载,这时可根据叠加原理把荷载分解为一组对称的与一组反对称的。若基本系取悬臂的对称形式,在对称荷载作用下两边的未知力同为,如图7-31(b)所示,在反对称荷载作用下未知力同为(但方向相反),如图7-31(c)所示。两者的典型方程都为一元一次方程,即
求δ11与δ22时要同时把两个与两个一起作用在基本系上作单位内力图,如图7-31(d)、图7-31(f)所示。荷载图如图7-31(e)、图7-31(g)所示。求出与Fx2,按叠加原理,有
则最后的弯矩图为两者的叠加,即
M=M1+M2
图7-31
随堂练习
如图7-32所示结构各杆刚度相同且为常数,AB杆中点弯矩为______,__________侧受拉。
图7-32
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