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画法几何与阴影透视:基本几何体阴影技巧

时间:2023-11-04 理论教育 版权反馈
【摘要】:从图9.73中可看出,四棱柱在V投影上的落影宽度为m+n,即四棱柱矩形顶面的两个边长之和;铅垂阴线ⅣⅤ在V面上之影与4′5′的水平距离等于该阴线到承影面的距离。图9.76圆柱体的阴影(一)图9.77圆柱体的阴影(二)①读图分析:该题是把上例直立圆柱加高了,上顶圆的右后半圆周阴线落影于V投影面上,其影线的形状为半个椭圆。图9.78圆锥体阴影的形成4)圆锥体的阴影以直立圆锥为例,

画法几何与阴影透视:基本几何体阴影技巧

正投影图中绘立体的阴影,首先要读懂已知图所示的立体形状,然后由光线方向判明立体的哪些表面是受光面,哪些表面是背光面,受光面和背光面的交线是阴线。作出这些阴线的影——影线,由影线围成的图形就是立体的影。

1)棱柱的阴影

建筑工程中常用的是直立棱柱。直立棱柱是由水平的多边形平面为上、下底和若干个铅垂矩形侧棱面组成的,其各表面是阳面还是阴面,可直接根据各棱面有积聚性的投影来判别它们是否受光。即由各棱面的积聚投影与光线的同面投影的相对位置确定阴、阳面,从而定出阴线,然后由直线段落影规律逐段求其阴线之影。

【例9.20】图9.73(a)为四棱柱的两面投影图,求四棱柱的阴影。

【解】作图:如图9.73(b)所示。

①读图分析:直立四棱柱的上、下底是水平的矩形平面,侧棱面由四个铅垂矩形面构成。

②阴线分析:四棱柱的侧棱面在H投影面上有积聚性,故在H投影中直接用光线的H投影s去照射。由图9.73(b)可知,该四棱柱的上、前、左棱面为阳面,右、后、下棱面为阴面。所以阴线是:ⅠⅡ—ⅡⅢ—ⅢⅣ—ⅣⅤ—ⅤⅥ—ⅥⅠ。

③作阴线之影:由直线段落影规律逐一求出四棱柱各阴线的落影。阴线ⅠⅡ是铅垂线,在H面上的落影与光线的H投影s平行,即过点1作45°线与投影轴OX相交于折影点,该线在V面上的影与自身平行。再自折影点作铅垂线与过2′点的光线V投影s′相交于影点ⅡV。阴线ⅡⅢ为正垂线,其影在V面上,是45°线,为求Ⅲ点之影ⅢV,可由铅垂棱线Ⅲ在V、H面上的落影而得出。阴线ⅢⅣ为侧垂线,其影在V面上,该线平行于V、H面,在V面上的落影与3′4′平行、等长,由此可作出影线ⅢVV。铅垂阴线ⅣⅤ在H面上之影为45°线,其在V面上之影与自身平行。由于ⅤⅥ、ⅥⅠ在棱柱的底面上,这两段阴线的影为自身。

④讨论直棱柱在V投影上的落影宽度及其位置,以便单面作图。从图9.73(b)中可看出,四棱柱在V投影上的落影宽度为m+n,即四棱柱矩形顶面的两个边长之和;铅垂阴线ⅣⅤ在V面上之影与4′5′的水平距离等于该阴线到承影面的距离。以后求作四棱柱在V投影上的落影时,只要知道该棱柱与V面的距离y,就可以直接作出其落影。这也反映了用常用光线作的阴影具有度量性,这种度量性质有利于单面作图。

⑤将可见阴面和影区涂成暗色。

图9.73 四棱柱的阴影

2)棱锥的阴影

锥体阴影的作图与柱体阴影作图完全不同,因锥体的各侧棱面通常不是投影面垂直面,其投影不具有积聚性,故不能直接用光线的投影确定其侧棱面是阳面还是阴面,也就无法确定阴线。因此,锥体阴影的作图往往是先求出锥体的落影,后定出锥体的阴、阳面。对于棱锥来说也是如此,首先是求棱锥顶在棱锥底所在平面上的落影,由锥顶的落影作棱锥底面多边形的接触线,求得棱锥的影线,再由影线与阴线的对应关系确定其阴线和阴面、阳面。

【例9.21】图9.74(a)为五棱锥T—ⅠⅡⅢⅣⅤ的两面投影图,求五棱锥的阴影。

【解】作图:如图9.74(b)所示。

①读图分析:直立五棱锥的底面是正五边形,侧棱面由5个共顶的三角形平面构成。

②作直立五棱锥T—ⅠⅡⅢⅣⅤ的落影:首先作锥顶T在锥底所在平面H的落影TH,即自锥顶T作光线S,再求光线S与H面的交点TH。然后由锥顶落影TH作锥底五边形的接触线TH5和TH3,即完成直立五棱锥T—ⅠⅡⅢⅣⅤ在H面上的落影。

3)圆柱体的阴影

直立圆柱体是由两水平圆面和圆柱面构成的。如图9.75所示,一系列与圆柱面相切的光线在空间形成了两个相互平行的光平面,它们与圆柱面相切的直素线AB、CD就是圆柱面上的阴线。这两条阴线将圆柱面分成大小相等的两部分,阳面和阴面各占一半,圆柱体的上顶是阳面,下底是阴面,故圆柱体的阴线是由柱面上的两条直阴线和上、下底两个半圆周组成的封闭线。

图9.74 五棱锥的阴影

图9.75 圆柱体阴影的形成

因直立圆柱面的H投影积聚成一圆周,阴线自然是垂直于H面的素线,故与圆柱面相切的光平面必然为铅垂面,其H投影积聚成与圆周相切的45°直线,所以直立圆柱的阴线可由光线的H投影与圆周相切而定。

【例9.22】已知圆柱体的平、立面图如图9.76(a)所示,试完成其阴影作图。

【解】作图:如图9.76(b)所示。

①确定直立圆柱面的阴线:首先,在H投影中作光线的H投影s与圆周相切于1、2两点,即圆柱面上的阴线ⅠⅢ、ⅡⅣ的H面投影。由此作铅垂联系线便得到阴线的V面投影1′3′、2′4′。从H投影看出,圆柱面的左前方一半是阳面,右后方一半是阴面。在V投影中,阴线1′3′右侧的一小条为可见阴面,应将它涂上暗色。

②作直立圆柱体的落影:圆柱体上顶圆的右后半圆周为阴线,它在H面上的落影仍为等大的半圆周。通过上顶圆的圆心O作光线便可求得其落影OH,以OH为圆心画与上顶圆等大的半圆周,得到右后半圆弧的落影。圆柱体下底圆的左前半圆周为阴线,其影与自身重合。阴线ⅠⅢ、ⅡⅣ在H面上的落影为45°线,与上、下圆周的落影相切。完成直立圆柱体在H面上的落影作图。

③将影区涂上暗色。

【例9.23】图9.77(a)为直立圆柱体的平、立面图,试完成其阴影作图。

【解】作图:如图9.77(b)所示。

图9.76 圆柱体的阴影(一)

图9.77 圆柱体的阴影(二)

①读图分析:该题是把上例直立圆柱加高了,上顶圆的右后半圆周阴线落影于V投影面上,其影线的形状为半个椭圆。作图时可逐点求出后光滑地连接而成,也可用图9.72的方法作出。柱面阴线在V面上的影与自身平行,且与椭圆相切。其余做法在图9.77(b)中已表明,这里不再赘述。

②图中尺寸分析:因常用光线的各投影均为45°线,故可得出如下结论:

a.直立圆柱回转轴的V投影与其影的同面投影的水平距离等于回转轴到承影面的距离,如图9.77(b)中的尺度D。

b.直立圆柱在V面上落影的宽度等于圆柱面两阴线在V投影中距离的两倍。在图9.77(b)中,设圆柱面两阴线在V投影中间距为2B,则落影宽度为4B。

以上两条请读者自行分析证明。根据这些特征可在一个投影中直接作圆柱体的阴影,即圆柱体的阴线和在V面上的落影都可以单面作图。

图9.78 圆锥体阴影的形成

4)圆锥体的阴影

以直立圆锥为例,如图9.78所示为一系列与圆锥面相切的光线,在空间形成了两个相交的光平面,它们与圆锥面相切的直素线TA、TB就是锥面上的阴线。与圆锥面相切的光平面是一般位置平面,故不能用光线的投影与圆锥底圆相切得圆锥面的阴线。而锥面的素线是通过锥顶T的,与锥面相切的光平面必然包含通过锥顶T的光线,与圆锥面相切的光平面和锥底平面P的交线就是阴线TA、TB的影线。这些影线也一定通过引自锥顶T的光线与锥底平面P的交点TP,并与底圆相切于点A、B。点TP是锥顶T在锥底平面P上的落影。

圆锥体的下底是阴面,故圆锥体的阴线是由锥面上的两条直阴线TA、TB和下底的部分圆周AB组成的封闭线,如图9.78所示。正置圆锥阳面大于阴面,倒置圆锥阳面小于阴面。

由上述分析总结出圆锥体阴影的作图步骤如下:

①首先求圆锥顶在锥底圆所在平面上的落影。

②以锥顶之落影作锥底圆的切线得圆锥体的落影。

③过切点的素线便是阴线。

【例9.24】如图9.79(a)所示,已知正置圆锥的平、立面图,试完成正置圆锥的阴影作图。

【解】作图:如图9.79(b)所示。

图9.79 圆锥体的阴影(www.xing528.com)

①作锥顶T的影落:过锥顶T作光线,求出该光线与锥底所在平面H的交点TH,即锥顶T在H面上的落影。

②作圆锥的落影及阴线:在H投影中,由影点TH向圆锥底圆引切线,得切点1、2,自切点1、2向锥顶t引直线t1和t2,这就是锥面阴线TⅠ和TⅡ的H投影。再自切点1、2向上作铅垂线,在V投影中得到1′、2′,连线t′1′、t′2′是锥面阴线TⅠ和TⅡ的V投影。TH1、TH2是圆锥在H面上的影线。

③将可见阴面和影区涂成暗色。

【例9.25】圆锥阴线单面作图。

【解】作图:如图9.80所示。

图9.80 圆锥阴线的单面作图

①在圆锥V投影中,以锥底圆的V投影为直径作半圆交回转轴线于点3。为了使图形清晰,半圆最好作在圆锥投影图的外侧,也可以作在圆锥投影图内,如图9.80左图所示。

②自点3作圆锥轮廓线的平行线交圆锥底圆的V投影于点4(对于正锥点4在回转轴右侧;倒锥点4在回转轴左侧)。

③过点4向左下和右下分别作45°线交半圆于点1、2。

④自点1、2作铅垂线交圆锥底圆的V投影于点1′、2′,连线t′1′和t′2′就是锥面上的两条阴线。

5)曲线回转体的阴影

绘制曲线回转体的阴影时,一般是先找出其阴线,再绘制其落影。曲线回转体上的阴线通常采用辅助切锥面法求得。

(1)辅助切锥面法求曲线回转体阴线的作图原理

辅助切锥面法求曲线回转体阴线的作图原理是:采用一系列与曲线回转体共回转轴的圆锥面(圆柱面是圆锥面的特殊情况),去与曲线回转体相切,每一个圆锥面与曲线回转体相切于一个纬圆,切线纬圆与切锥面阴线的交点就是曲线回转体阴线上的阴点,再用光滑曲线连接这些阴点即为曲线回转体的阴线。

图9.81 切锥面法的作图原理

如图9.81所示,圆锥面T—AB外切蛋形体于纬圆AB,该圆锥面的阴线是TA、TB,切线纬圆与圆锥面阴线的交点A、B是蛋形体阴线上的点。圆柱面(即底角为90°的圆锥面)也外切蛋形体于纬圆CD,切线纬圆与圆柱面阴线的交点C、D也是蛋形体阴线上的点。再继续用不同底角的圆锥面去与蛋形体相切,可以得到蛋形体阴线上的若干阴点,然后用光滑曲线连接这些阴点,便获得蛋形体的阴线。

(2)辅助切锥面法求曲线回转体阴线的作图步骤

①作出与曲线回转体同轴的外切(内切)的锥面(柱面)。

②画出切锥面与曲线回转体相切的纬圆。

③求出切锥面的阴线和与相切纬圆的交点,即为回转体阴线上的点。

④用光滑曲线依次连接这些阴点,即得曲线回转体的阴线。

【例9.26】如图9.82(a)所示为蛋形体的V投影图,求该形体的阴线。

【解】作图:如图9.82(b)所示。

图9.82 蛋形体的阴影

①为了作图准确和方便起见,首先作底角为45°的正、倒圆锥面外切蛋形体,求得蛋形体阴线在V投影轮廓线上的切点3′、6′,它们是阴线V投影的可见与不可见的分界点。同时还作出了重合在中心线上的阴点(4′)、5′。该两点是蛋形体W投影轮廓线上的阴点,也是阴线W投影的可见与不可见的分界点(此处未画W投影)。

②用旋转法作出与水平线夹角为35°的线,再以此线方向作底角为35°的正、倒圆锥面外切蛋形体,得到蛋形体阴线上的最高点(7′)、最低点8′。

③作蛋形体的外切圆柱面(即底角为90°的锥),得到蛋形体赤道圆上的点1′、(2′)。它们是蛋形体H投影轮廓线上的阴点,也是蛋形体阴线H投影的可见与不可见的分界点(此处未画H投影)。

④再适当选用一些底角为其他角度的锥面外切蛋形体,得一些中间点。如图9.82(b)中用倒锥面s′-d′e′外切蛋形体,求得阴点(9′)、10′。

⑤光滑地连接以上各阴点,并将可见阴面涂成暗色,完成蛋形体的阴线作图。图9.82(c)为渲染图。

6)圆球的阴影

(1)圆球阴线的概念

如图9.83所示,在平行光线照射下,与圆球相切的光线构成光圆柱面,它与圆球相切于球面的一个大圆,这就是圆球的阴线。该阴线圆所在平面与光线方向垂直,由于光线与各投影面倾角相等,阴线大圆所在平面与各投影面的夹角也相等,因此,阴线大圆的各个投影均为大小相等的椭圆。椭圆中心就是球心的投影,长轴与光线的同面投影方向垂直,长度=球直径,短轴平行于光线同面投影,长度=球直径×tan30°。

(2)圆球阴线的作图

圆球是曲线回转体的特例,它的阴线V投影可按切锥面法求得。如图9.84所示,最高阴点5′和最低阴点8′是由底角为35°的正、倒圆锥面外切圆球而求得的,轮廓线上的阴点1′、2′和重合在中心线上的阴点6′、9′是由底角为45°的正、倒圆锥面外切圆球而求得的,位于赤道圆上的阴点7′、10′是由圆柱面外切圆球而求得的。因外切圆柱面的H投影与圆球V投影的形状、大小相同,所以可直接由阴点1′、2′向赤道圆引垂线而得到,然后用光滑曲线连接以上各阴点即可得圆球阴线的V投影。

图9.83 圆球阴线的形成

图9.84 圆球的阴影

(3)圆球在投影面上的落影作图

如图9.84所示,圆球在投影面上的落影就是与圆球相切的光圆柱面与投影面的交线,其形状是椭圆,椭圆心是球心的落影;落影椭圆短轴为ⅠⅡ之影ⅠVV,它垂直于光线的同面投影,长度=球直径(因ⅠⅡ与V投影面平行);长轴为ⅢⅣ之影ⅢVV,它与光线的同面投影平行。作图时,自短轴两端点作与短轴成60°的直线与过球心的光线投影相交,便得落影椭圆长轴ⅢVV。自落影椭圆长、短轴的端点分别作与长、短轴平行的直线构成一矩形,除长、短轴的4个端点外,再定出矩形对角线上的4个点,连接这8个点成椭圆即得圆球在V面上的落影。

(4)圆球体阴影的单面作图

【例9.27】圆球的V面投影图如图9.85(a)所示,球心O距承影面V的距离为L,试完成圆球阴线的V投影及圆球在V面上的落影作图。

【解】作图:如图9.85(b)所示。

①作圆球阴线V投影椭圆的长、短轴。首先过球心o′作垂直于光线V投影s′的球直径1′5′,它是圆球阴线投影椭圆的长轴。再自长轴端点1′、5′作与长轴成30°的直线,与过球心的光线投影s′相交于点3′、7′,线段3′7′是圆球阴线投影椭圆的短轴。

②用切锥面法作阴线投影椭圆上的其他点。过长轴端点1′、5′作铅垂线交圆球赤道圆V投影于点2′、6′,这是圆柱面外切圆球求得的阴点。又自长轴端点1′、5′作水平线交圆球侧子午圆V投影于点4′、8′,该水平线是底角为45°的圆锥面与圆球相切纬圆的V投影。阴点4′、8′是底角为45°的圆锥面与圆球相切求得的阴点。

图9.85 圆球体的阴影

③用光滑曲线连接以上8个点成椭圆,得圆球阴线的V投影。

④作圆球在V面上的落影:由圆球的铅垂回转轴线向右量取距离L,画一铅垂线与过圆球心o′的光线s′相交于o′V,这就是球心的落影。再自球心落影o′V作垂直于光线V投影s′的直线与过阴点1′、5′的光线相交于点1′V、5′V,线段1′V5′V等于圆球直径,它是圆球落影椭圆的短轴。自短轴两端点作与短轴成60°的直线与过球心o′的光线s′相交于点3′V、7′V,线段3′V7′V是圆球落影椭圆的长轴。自影点3′V、7′V分别作短轴的平行线与过阴点1′、5′的光线相交于点a′V、b′V、c′V、d′V,矩形a′Vb′Vc′Vd′V外切于圆球的落影椭圆。然后用底角为45°的等腰直角三角形求出矩形a′Vb′Vc′Vd′V对角线的点,连接这8个点成椭圆即得到圆球在V面上的落影。

⑤将可见阴面和影区涂成暗色,完成作图。

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