解的结构，其中f（x）≠0.
定理3 若函数y 0（x）是非齐次微分方程（3）的特解，Y=C 1y 1（x）+C 2y 2（x）是与方程（3）对应的线性齐次微分方程（2）的通解，则y=Y（x）+y 0（x）是方程（3）的通解.证 先验证y是方程（3）的解.将y代入方程（3）的左端，有
由于Y是二阶线性齐次微分方程（2）的解，y 0（x）是非齐次微分方程（3）的解，故
即y是方程（3）的解.
又因为Y是齐次微分方程（2）的通解，Y中含有两个独立的任意常数C 1，C 2，所以y=Y（x）+y 0（x）中也含有两个独立的任意常数，从而它是方程（3）的通解.
上面的定理实际上还说明了两个非齐次微分方程的解之差是对应的齐次微分方程的解.即有下面的结论.
定理4 若函数y 1（x），y 2（x）是非齐次微分方程（3）的两个特解，则y 1（x）-y 2（x）是与之对应的线性齐次微分方程（2）的解.
例3 证明y=C 1 x+C 2 e x-（x 2+x+1）是方程（x-1）y″-xy′+y=（x-1）2的通解.
是对应的齐次方程的通解.
又y 0=-（x 2+x+1）满足方程（x-1）y″-x y′+y=（x-1）2，于是由定理可得：y=C 1 x+C 2 e x-（x 2+x+1）是方程（x-1）y″-xy′+y=（x-1）2的通解.(www.xing528.com)
的齐次方程的通解，
又y 3是它的一个特解，从而
是它的通解.
定理5 若方程（3）的自由项f（x）为若干个函数之和，如
y 1（x）和y 2（x）是分别对应方程
的特解，则y=f 1（x）+f 2（x）是方程（4）的特解.
证 将y=f 1（x）+f 2（x）代入方程（4）中验证即可.由于
故y=f 1（x）+f 2（x）是方程（4）的解.
由定理3可知，求线性非齐次微分方程的通解，只要先求出其对应的线性齐次微分方程的通解，然后，再求出非齐次方程的一个特解，两者之和即为线性非齐次微分方程的通解.
而定理5指出，当自由项复杂是，可以考虑把自由项分解称若干个简单函数的和.通常，以这些简单函数作自由项重新构造的微分方程容易求特解，这些特解之和即为原微分方程的特解，从而使得求解的范围进一步扩大.
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
