设f（x）是周期为2π 的周期函数，且能在［－π，π］上展成三角级数，即
则该三角级数的系数a0，an，bn（n ＝1，2，3，…）应如何确定呢？ 傅里叶利用三角函数系的正交性给出了这些系数的计算公式.
公式（3）中的a0，an，bn（n ＝1，2，3，…）称为傅里叶系数，将这些系数代入式（2）右端，所得的三角级数
称为函数f（x）的傅里叶级数，简称傅氏级数.
对函数f（x）来说，只要式（3）中的积分存在，就可以写出它的傅里叶级数.但这样写出的傅里叶级数是否收敛？ 若收敛，其和是否为f（x）？ 对此，下面给出狄利克雷（Dirichlet）收敛定理.
定理13.7（狄利克雷收敛定理） 设函数f（x）是周期为2π 的函数，如果满足条件：在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且在一个周期内至多只有有限个极值点，则f（x）的傅里叶级数收敛，且有
（1）当x 是f（x）的连续点时，级数收敛于f（x）；
称收敛定理的条件为狄利克雷收敛条件，这一条件是充分非必要的.
通常在实际问题中所遇到的周期函数都满足这个条件，因此，这些函数的傅里叶级数除间断点外都能收敛到函数本身，这时也称函数能展开成傅里叶级数.
特别地，当f（x）为奇函数时，f（x）cos nx 是奇函数，f（x）sin nx 是偶函数，有
即奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
【例13.22】 设锯齿脉冲信号函数f（x）的周期为2π，且它在［－π，π）上的表达式为
将f（x）展开成傅里叶级数.
【解】 由傅里叶系数公式得
因为函数f（x）满足收敛定理条件，且当x≠（2k＋1）π（k∈Z）时，f（x）连续，所以
函数f（x）的图像如图13.2 所示，其傅里叶级数的和函数的图像如图13.3 所示.
图13.2
图13.3
由于实际问题中的函数大都满足收敛定理条件，以后做这类题时，不必赘述收敛定理的条件，只需确定函数的连续性，就可确定x 成立的范围，即除间断点外的一切实数，并且在间断点处傅氏级数收敛于间断点的左、右极限的算术平均值.
【例13.23】 设周期为2π，幅值为E（E＞0）的矩形波的波函数f（x）在一个周期上的表达式为
将f（x）展开成傅里叶级数.
【解】 因为函数f（x）是奇函数，其傅里叶级数为正弦级数，所以
函数f（x）的图像如图13.4 所示，其傅里叶级数的和函数的图像如图13.5 所示.
图13.4
图13.5
【例13.24】 设三角脉冲信号函数f（x）以2π 为周期，其在［－π，π）上的表示式为
将f（x）展开为傅里叶级数.(www.xing528.com)
【解】 因为f（x）是偶函数，其傅里叶级数为余弦级数，所以
又因为f（x）在（－∞，＋∞）内处处连续，所以
且函数f（x）与其傅里叶级数的和函数有相同的图像，如图13.6 所示.
图13.6
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