浓度分布特性-环境水力学

1．数学期望

数学期望是描述位置特征的量（几何分布中心、平均数）。

（1）设离散型随机变量X的概率为，k＝1，2，…，若级数绝对收敛，则称级数为随机变量X的数学期望，记为E（X），即，它是一个加权概率平均值，权重为pk。

（2）连续型随机变量X，其概率密度为f（x），若积分绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为E（X），即

数学期望又称均值，它体现了一个随机变量最有可能（最有希望）出现的值。

若X为服从正态分布N（μ，σ）的随机变量，其概率密度为

正态分布的随机变量的均值为分布曲线的对称轴所在处的横坐标值，若曲线以纵坐标为对称轴，则该随机变量之均值为零。

2．方差（描述随机变量X相对于E（X）离散程度的量）

随机变量的数值总是忽大忽小，很不规则。如果要度量一个随机变量与均值的偏离程度，常用量来表达。其含义是变量与均值之差平方的数学期望。之所以采用差值的平方而不是差值来代替，是因为差值会出现负的问题。

（1）离散型随机变量

（2）对于连续型随机变量，则方差的表达式为

对于服从正态分布N（μ，σ）的随机变量X，其概率密度为

则X的方差为

将上式代入f（x）并积分得(www.xing528.com)

将D（X）开方得均方差或标准差，正态分布标准差为：

3．相关与相关系数

任意两个随机变量X和Y之间有无相互关系用无量纲的相关系数R来衡量，相关系数定义为

随机变量X和Y的协方差定义为

若X与Y是互相独立而无关联的变量，则Cov（X，Y）＝0，R＝0；

若X与Y不是相互独立而存在一定关系，则Cov（X，Y）≠0，R≠0；

若R→1，则两变量关系密切。

4．矩

浓度分布曲线的许多特性常借助于浓度矩来说明。矩的概念在力学中早已屡见不鲜，如力矩、面积矩、惯性矩等等。

设X和Y是随机变量，若，p＝1，2，…存在，则称其为X的k阶原点矩。（可以写成）；

若，k＝1，2，…存在，则称其为X的k阶中心矩（可以写成Mk）；

设X和Y是随机变量，若存在，则称其为X和Y的（k＋l）阶混合 矩；若（y－E（Y））lf（x，y）dxdy存在，则称其为X和Y的（k＋l）阶中心混合矩。