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环境水力学:剪切流离散方程

时间:2023-11-21 理论教育 版权反馈
【摘要】:按总流的分析方法采用断面平均流速V和断面平均浓度Ca来计算,建立以断面平均值表达的扩散方程。比拟菲克定律,得到EL为纵向移流离散系数,EX为紊动扩散系数。其求解方法和第二章的移流扩散方程完全一样,关键是如何确定离散系数,离散系数与断面流速分布情况有关,要针对不同情况来定。

环境水力学:剪切流离散方程

有些问题如管道、渠槽等流动中的扩散可以简化为一维问题处理。按总流的分析方法采用断面平均流速V和断面平均浓度Ca来计算,建立以断面平均值表达的扩散方程。对于紊流,各参量的断面平均值、瞬时值、时均值、脉动值之间的关系为:令表示断面上的任一点的时均流速和时均浓度与其断面平均值V、Ca之差,即

其中为时均流速、时均浓度。

通过单位面积在单位时间内的扩散质通量(或浓度通量)的时均值为

其中

将式(4-1)再对断面A取平均,并以符号〈···〉表示各项的断面平均值,可写浓度通量的断面平均值为

考虑到

现根据物质守恒定律建立扩散方程,为了方便,以明渠流为例,如图4-2所示,在明渠流动中取一微分流段dx,设流段的上游断面面积为A,断面平均流速为V,通过上游断面的扩散物质流量和C为断面上任意点处的流速与含有物浓度,通过下游断面的扩散物质量浓度为,故

图4-2 流量平衡定律与质量守恒定律示意图

设dt时段内流入与流出微分流段的扩散物质量之差为,若所研究扩散物质为示踪物质,dt时段内流入与流出的扩散物质量之差应当与dt时段内流段内扩散物质量增量相等,即

化简得

又根据通过上游断面流进微元体的流量为VA,通过下游断面流出微元体的流量为,dt时段内流入与流出微元体的流量差为,应当等于dt时段内微元体内部的体积变化,所以可以得出

化简得无侧向入流的明渠一维非恒定流连续性方程

将式(4-3)代入式(4-5),得到(www.xing528.com)

将式(4-7)等式左边展开得

将式(4-7)等式右边第一项展开得

将式(4-8)、(4-9)代入式(4-7)则得到

由式(4-6)得到

其中,〉为流速和浓度在断面上分布不均匀引起的离散,为紊流脉动引起的扩散。

比拟菲克定律,得到

EL为纵向移流离散系数,EX为紊动扩散系数

得到

若过流断面面积A=常数,则得到

令M=EL+Ex,得到

上式即为一维移流离散方程,其中M为综合扩散系数或混合系数,当M沿流程不变时,移流扩散方程为

一般情况下,EL≫Ex≫D,故常忽略D和Ex,以离散为主取M=EL计算。其求解方法和第二章的移流扩散方程完全一样,关键是如何确定离散系数,离散系数与断面流速分布情况有关,要针对不同情况来定。为了简化起见,本书后面将紊流时均流速和时均浓度简称流速和浓度,并省去字母上方的横线。

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