环境水力学：剪切流离散方程

有些问题如管道、渠槽等流动中的扩散可以简化为一维问题处理。按总流的分析方法采用断面平均流速V和断面平均浓度Ca来计算，建立以断面平均值表达的扩散方程。对于紊流，各参量的断面平均值、瞬时值、时均值、脉动值之间的关系为：令表示断面上的任一点的时均流速和时均浓度与其断面平均值V、Ca之差，即

其中为时均流速、时均浓度。

通过单位面积在单位时间内的扩散质通量（或浓度通量）的时均值为，

其中。

将式（4－1）再对断面A取平均，并以符号〈···〉表示各项的断面平均值，可写浓度通量的断面平均值为

考虑到

则

现根据物质守恒定律建立扩散方程，为了方便，以明渠流为例，如图4－2所示，在明渠流动中取一微分流段dx，设流段的上游断面面积为A，断面平均流速为V，通过上游断面的扩散物质流量为和C为断面上任意点处的流速与含有物浓度，通过下游断面的扩散物质量浓度为，故

图4－2　流量平衡定律与质量守恒定律示意图

设dt时段内流入与流出微分流段的扩散物质量之差为，若所研究扩散物质为示踪物质，dt时段内流入与流出的扩散物质量之差应当与dt时段内流段内扩散物质量增量相等，即

化简得

又根据通过上游断面流进微元体的流量为VA，通过下游断面流出微元体的流量为，dt时段内流入与流出微元体的流量差为，应当等于dt时段内微元体内部的体积变化，所以可以得出

化简得无侧向入流的明渠一维非恒定流连续性方程

将式（4－3）代入式（4－5），得到(www.xing528.com)

将式（4－7）等式左边展开得

将式（4－7）等式右边第一项展开得

将式（4－8）、（4－9）代入式（4－7）则得到

由式（4－6）得到

其中，〉为流速和浓度在断面上分布不均匀引起的离散，为紊流脉动引起的扩散。

比拟菲克定律，得到

EL为纵向移流离散系数，EX为紊动扩散系数。

得到

若过流断面面积A＝常数，则得到

令M＝EL＋Ex，得到

上式即为一维移流离散方程，其中M为综合扩散系数或混合系数，当M沿流程不变时，移流扩散方程为

一般情况下，EL≫Ex≫D，故常忽略D和Ex，以离散为主取M＝EL计算。其求解方法和第二章的移流扩散方程完全一样，关键是如何确定离散系数，离散系数与断面流速分布情况有关，要针对不同情况来定。为了简化起见，本书后面将紊流时均流速和时均浓度简称流速和浓度，并省去字母上方的横线。