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微积分:构建函数关系式举例

时间:2023-11-26 理论教育 版权反馈
【摘要】:9.某化肥厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时,超过的部分打9折出售,写出销售总收益与总销售量之间的函数关系.

微积分:构建函数关系式举例

在解决实际问题时,常需要分析该问题中变量之间的函数关系,然后再利用数学的方法去分析、解决该问题,即通常所说的建立数学模型和解决数学模型的过程.

下面举两个实例,说明建立函数关系式的方法和步骤.

【例8】 已知一有盖的圆柱形铁桶,容积为V,试建立圆柱形铁桶的表面积S 与底面半径r之间的函数关系式.

解 由题意可知,圆柱形铁桶的容积V是一个常量,所求函数关系式的自变量应为底面半径r,因变量应为表面积S.圆柱体的表面积S 不仅与底面半径r有关,还与圆柱体的高h有关,而由圆柱体的体积公式V=πr2h,得.由圆柱体的表面积公式可得下面的函数关系式:

【例9】 我们知道,当个人的月收入超过一定金额时,应向国家交纳个人所得税,收入越高,国家征收的个人所得税也越高.我国于2005 年10 月27 日发布的《全国人民代表大会常务委员会关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉 的决定》 中规定月收入超过1600 元的部分为应纳税所得额,税率情况见表2-4 (该表中仅保留了原表中的前3 级的税率).

表2-4

个人所得税一般在工资中直接扣除.若某单位所有人员的月收入都不超过6600 元,请建立月收入与纳税金额之间的函数关系.

解 设该单位某人月收入为x元,应交纳所得税为y元.则由题意有

当0≤x≤1600 时

当1600 <x≤2100 时

当2100 <x≤3600 时

当3600 <x≤6600 时

故所求函数关系为

由以上两例可见,建立函数关系,可以按以下几步去做.

(1)寻找问题中的常量、变量;

(2)根据题意确定哪个变量是自变量,哪个变量是因变量;

(3)根据数学、物理经济等规律和知识建立函数关系式;(www.xing528.com)

(4)根据问题的实际意义,给出函数的定义域.

练 习2-1

1.求下列函数的定义域:

2.下列各题中,函数f(x)和g(x)是否相同?为什么?

3.求下列函数的函数值:

4.指出下列函数的复合过程:

习 题2-1

1.求下列函数的定义域:

2.确定下列函数的奇偶性

3.判定下列函数在指定区间内的单调性:

4.设f(sinx) =cos2x+1,求f(cosx).

5.指出下列函数的复合过程:

6.函数f(x)是奇函数,x∈(0,+∞)时,f(x) =x2-x+1,求x∈(-∞,0)时,函数f(x)的表达式.

7.在一个半径为r的球内嵌入一个内接圆柱,试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数,并确定此函数的定义域.

8.一架飞机A从某地以400km/h的速度朝北飞行,1h后,另一架飞机B从同一地点起飞,速度为300km/h,方向朝东.如果两架飞机飞行高度相同,不考虑地球表面的弧度和阻力.问这两架飞机在时刻t(飞机B起飞的时刻为0)相距多远?

9.某化肥厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售,超过700吨时,超过的部分打9折出售,写出销售总收益与总销售量之间的函数关系.

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