微积分：构建函数关系式举例

在解决实际问题时，常需要分析该问题中变量之间的函数关系，然后再利用数学的方法去分析、解决该问题，即通常所说的建立数学模型和解决数学模型的过程.

下面举两个实例，说明建立函数关系式的方法和步骤.

【例8】 已知一有盖的圆柱形铁桶，容积为V，试建立圆柱形铁桶的表面积S 与底面半径r之间的函数关系式.

解 由题意可知，圆柱形铁桶的容积V是一个常量，所求函数关系式的自变量应为底面半径r，因变量应为表面积S.圆柱体的表面积S 不仅与底面半径r有关，还与圆柱体的高h有关，而由圆柱体的体积公式V=πr2h，得.由圆柱体的表面积公式可得下面的函数关系式：

即

【例9】 我们知道，当个人的月收入超过一定金额时，应向国家交纳个人所得税，收入越高，国家征收的个人所得税也越高.我国于2005 年10 月27 日发布的《全国人民代表大会常务委员会关于修改〈中华人民共和国个人所得税法〉 的决定》 中规定月收入超过1600 元的部分为应纳税所得额，税率情况见表2-4 （该表中仅保留了原表中的前3 级的税率）.

表2-4

个人所得税一般在工资中直接扣除.若某单位所有人员的月收入都不超过6600 元，请建立月收入与纳税金额之间的函数关系.

解 设该单位某人月收入为x元，应交纳所得税为y元.则由题意有

当0≤x≤1600 时

当1600 ＜x≤2100 时

当2100 ＜x≤3600 时

当3600 ＜x≤6600 时

故所求函数关系为

由以上两例可见，建立函数关系，可以按以下几步去做.

（1）寻找问题中的常量、变量；

（2）根据题意确定哪个变量是自变量，哪个变量是因变量；

（3）根据数学、物理或经济等规律和知识建立函数关系式；(www.xing528.com)

（4）根据问题的实际意义，给出函数的定义域.

练 习2-1

1.求下列函数的定义域：

2.下列各题中，函数f（x）和g（x）是否相同？为什么？

3.求下列函数的函数值：

4.指出下列函数的复合过程：

习 题2-1

1.求下列函数的定义域：

2.确定下列函数的奇偶性：

3.判定下列函数在指定区间内的单调性：

4.设f（sinx） =cos2x+1，求f（cosx）.

5.指出下列函数的复合过程：

6.函数f（x）是奇函数，x∈（0，+∞）时，f（x） =x2-x+1，求x∈（-∞，0）时，函数f（x）的表达式.

7.在一个半径为r的球内嵌入一个内接圆柱，试将圆柱的体积V表示为圆柱的高h的函数，并确定此函数的定义域.

8.一架飞机A从某地以400km/h的速度朝北飞行，1h后，另一架飞机B从同一地点起飞，速度为300km/h，方向朝东.如果两架飞机飞行高度相同，不考虑地球表面的弧度和阻力.问这两架飞机在时刻t（飞机B起飞的时刻为0）相距多远？

9.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时，超过的部分打9折出售，写出销售总收益与总销售量之间的函数关系.