在生产及生活中,常常会考虑用最低的成本获得最高的利润,在设计易拉罐时,大饮料公司除考虑外包装的美观之外,还必须考虑在容积一定(一般为250ml) 的情况下,所用材料最少(表面积最小)、焊接或加工制作费最低等.实际问题中,常常遇到求“产量最大”、 “用料最省”、 “成本最低” 和“效率最高” 等问题,这类问题在数学上就是求函数的最大值和最小值问题,统称为最值问题.是数学上一类常见的优化问题.
已经知道闭区间上的连续函数一定存在着最大值和最小值,但对开区间情形较复杂,我们只就函数在开区间(a,b) 内除有限个不可导点外,且至多有有限个驻点的情形进行研究.
(1)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且至多存在有限个可能极值点.
此时函数f(x)的最值点只能在[a,b]内的极值点和区间的端点处取得,因此只需求出一切可能极值点和端点处的函数值,比较这些数值的大小,即可得最大值和最小值.
(2)函数f(x)在一般区间(包括无穷区间)上连续,且有唯一可能极值点,则此极值点就是函数f(x)的最值点,若为极大值点,则对应最大值,若为极小值点,则对应最小值.
(3)实际问题.在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数f(x)确有最大值或最小值,而在定义域内f(x)只有唯一可能极值点,则此极值点就是函数的最值点.【例7】 求函数f(x) =2x3-9x2+12x-3 在[ -3,3]上的最值.解 函数f(x) =2x3-9x2+12x-3 在[ -3,3] 上连续,由例5 知函数的驻点为x1=1,x2=2.又f(1) =3,f(2) =1,f(-3) =-174,f(3) =6.比较各值可得,函数最大值为f(3) =6,最小值为f(-3) =-174.【例8】 对某工厂,上午班(8∶00 ~12∶00) 工人的工作效率的研究表明,一个中等技术水平的工人早上8 点开始工作,t小时后共生产Q(t) =-t3+6t2-45t个产品,问在早上几点钟这个工人工作效率最高?解 这个工人的工作效率就是产品的生产率,即Q(t)的导数,设R(t) =Q′(t),则这个工人工作效率最高的时间就是函数R(t)的最大值点.
比较R(0) =45,R(2) =57,R(4) =45 知,最大值为
所以当t=2 即上午10 点这个工人的工作效率最高.
【例9】 铁路线上AB段的距离为100km,工厂C距A处为20km,AC垂直于AB(图3-7),为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修一条公路,已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3∶5,为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点应选在何处?
解 设AD=x(km),那么DB=100 -x.
图3-7
由于铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3∶5,因此不妨设铁路上每公里的运费为3k,公路上每公里的运费为5k(k为正数),设从B点到C点需要的总运费为y,则
令y′=0 得x=15 (km),y在其定义域内有唯一驻点,故知y在x=15 (km)处取得最小值,即D点应选在离A点15km处,运费最少.(www.xing528.com)
练 习3-6
1.求下列函数的单调区间.
2.求下列函数的极值点与极值.
3.求y=x4-8x2+2 在x∈[-2,3]上的最值.
习 题3-6
1.求下列函数的单调区间、极值点与极值.
(1) y=xlnx;(2) y=x-arctanx.
2.求下列函数的最值.
4.某厂要设计一批容积为V的有盖圆柱形容器,问直径与高具有何比例时,所用材料最省?
5.半径为R的圆形薄片中剪去一个扇形,问留下的扇形的中心角α多大时,使卷起所得的圆锥形容器具有最大容积?
6.要铺设一石油管道,将石油从炼油厂输送到石油罐装点,如图3-8 所示,炼油厂附近有条宽2.5km的河,罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10km处,如果在水中铺设管道的费用为6 万元/km,在河边铺设管道的费用为4 万元/km,试在河边找一点P,使管道铺设费最低.
图3-8
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