不同变换矩阵系数的影响分析

在交流电动机控制中，经常将电压、电流等物理量在各种常见的坐标系中进行变换。其中两相静止与两相旋转之间的坐标变换不涉及矩阵系数的问题，而三相坐标系与两相坐标系之间的变换需要使用2/3与、等系数，必须清楚它们之间的关系，否则建立的仿真模型就是错误的，“仿真”变成了“仿假”，这就完全失去了仿真分析的意义。

在第3章的式3-3坐标变换以及电动机数学模型的简化中采用的三相坐标系与两相坐标系的变换矩阵（式3-48与式3-49）重新列写如下：

在式3-4中曾经分析过，采用式4-3与式4-4进行变换，得到的两相变量与三相变量的幅值是相同的。所以变换前后的相电流幅值没有什么变化。同理，磁链以及电压的幅值没有变化。所以变换后，两相绕组电动机模型的功率只有三相电动机的2/3，故而其功率以及转矩的计算中需要额外添加一个系数3/2。

除此之外，还有一种称为功率守恒变换的变换矩阵在很多参考书中也可以看到，其变换矩阵见式4-5与式4-6。可以进行验算，在经过C_2s→3s·C_3s→2s与C_3s→2s·C_2s→3s的变换后，物理量也能够保持不变，故而也是可行的。但需要注意的是两个矩阵的系数与式4-3和式4-4均不同。以电动机的相电流为例，采用式4-5计算两相电流，幅值会变为三相电流的倍。同理，电压和电流以及磁链均为三相的倍。那么两相绕组电动机模型的功率以及转矩就与三相绕组的对应相等，因而转矩和功率的公式中就无需再乘系数3/2。

上述的分析必须注意，否则所谓的PMSM仿真模型就会有误，无法得出正确结果。简单总结一下，如果采用变换矩阵式4-3与式4-4，那么电动机的电流、电压、磁链（包括永磁磁链）都是相变量的幅值，并且转矩公式中出现3/2。如果采用变换矩阵式4-5与式4-6，那么电动机的电流、电压、磁链（包括永磁磁链）都是相变量幅值的倍，并且转矩公式中不会出现3/2。

注意到上述的不同后，两种形式的坐标变换都可以采用，都可以得出正确的结果。

图4-31给出了采用不同变换矩阵对三相电压进行变换的结果，可以发现黄颜色曲线1和3对应的变换结果较曲线2和4的幅值更小，曲线1和3采用的是矩阵4-3，曲线2和4采用的是矩阵4-5。

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图4-31 三相到两相过程中两种变换的波形对比

图4-32给出了采用不同变换矩阵对两相电压进行变换的结果，可以发现黄颜色曲线1、3、5对应的变换结果较曲线2、4、6的幅值更大，曲线1、3、5采用的是矩阵式4-4，曲线2、4、6采用的是矩阵式4-6。

图4-32 两相到三相的变换过程中两种变换的波形对比

图4-33给出了两种电动机模型的仿真结果，黄颜色曲线1、3、5、7对应的是正确电动机模型；红颜色2、4、6、8对应的电动机模型中的电压变换矩阵为式4-5，转矩公式中系数为1，但是永磁磁链没有修改，仍为相绕组永磁磁链的幅值。可以发现仿真结果是不同的，这就说明，后者没有正确设置的电动机模型是错误的。图4-34则进行了相应的修正，可以发现两种颜色的曲线重叠在一起，这说明两种模型都是正确的。

另外，读者可能会发现——即便是错误的设置，最后系统还是稳定的，这是为何？根据以上的分析，就相当于电动机的永磁磁链减小为正确值的。在一定的条件下，系统还是可以稳定运行的，只不过已经是另外一个电动机了。为了和负载转矩相平衡，电动机的i_q、i_q都略大一些（电流工作点已经不正确了）。进一步说明，如果读者采用了错误的模型进行电动机调速系统的闭环控制，该系统有可能最后是稳定的，仿真也不会出现问题。但是电动机的实际电流工作点已经偏离了期望工作点。当重新设置永磁磁链后，两种模型的仿真结果又一致了，如图4-34所示。

图4-33 错误的模型导致的仿真问题

图4-34 两种正确建模得到的仿真波形