傅里叶变换的性质探析

注:以⇔表示函数和其傅里叶变换的对应性。

1)平移性质

式(4－20)表明将f(x，y)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的频域中心移动到新的位置；式(4－21)表明将F(u，v)与一个指数项相乘就相当于把其变换后的空域中心移动到新的位置，且对f(x，y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。

当u0＝M/2且v0＝N/2，有

代入式(4－20)和式(4－21)，得到

2)分配率

根据傅里叶变换的定义，可得

上述公式表明，傅里叶变换对加法满足分配律，但对乘法则不满足。

3)尺度变换(缩放)

给定2个标量a和b，可以证明傅里叶变换对下列2个公式成立。

4)旋转性

引入极坐标x＝r cosθ，y＝r sinθ，u＝w cosφ，v＝w sinφ，将f(x，y)和F(u，v)转换为f(r，θ)和F(ω，φ)，将它们代入傅里叶变换得到

由上式可知，f(x，y)旋转角度θ0，F(u，v)也将转过相同的角度；F(u，v)旋转角度θ0，f(x，y)也将转过相同的角度。

5)周期性和共轭对称性

周期性和共轭对称性表达式为

上述公式表明，尽管u和v的值重复出现无穷次，但只需根据在一个周期里出现的N次的值就可以由F(u，v)得到f(x，y)，即只需一个周期里的变换就可将F(u，v)在频域里完全确定。同样的结论对f(x，y)在空域时也成立。

如果f(x，y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对称性表示为

式中:F*(u，v)——F(u，v)的复共轭。

注:当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数。对于一维变换f(x)，周期性是指f(x)的周期长度为M，对称性是指频谱关于原点对称。

6)分离性(www.xing528.com)

分离性表达式为

式中的F(x，v)是沿着f(x，y)的一行进行傅里叶变换所得到的，当x＝0，1，…，M－1，即沿着f(x，y)的所有行计算傅里叶变换。

由图4－8可知，先通过沿输入图像的每一行计算一维变换，再沿中间结果的每一列计算一维变换，即可将二维傅里叶变换作为一系列的一维变换进行计算，当然也可以改变上述顺序，即用先列后行的计算形式。上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换。

7)平均值

由二维傅里叶变换的定义得

图4－8　二维傅里叶变换作为一维变换的计算

所以

而

所以

上式说明，如果f(x，y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级。

8)卷积理论

大小为M×N的两个函数f(x，y)和h(x，y)的离散卷积为

卷积定理为

9)相关性理论

大小为M×N的两个函数f(x，y)和h(x，y)的相关性定义为

式中:f*——f的复共轭。对于实函数，有f*＝f，以下相关定理皆成立。

自相关理论为

注:复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方。