非线性控制系统的描述函数分析

对非线性系统进行分析，首先考虑和关心的是稳定性和自激振荡问题。

利用描述函数法来分析一个非线性控制系统，可以确定该非线性系统的稳定性，还可以通过稳定性对产生自激振荡的条件、自振振幅和频率的确定等问题，给出答案。如果非线性系统是稳定的，进一步可以得到关于极限环稳定的运动参数，也就是系统自持振荡时的振荡频率和振荡幅值。

当控制系统的非线性部分以描述函数N（X）来表示时，系统如图7-29所示，它可以表示为非线性部分与线性部分相串联的典型反馈结构。图中，N（X）是用描述函数来表示的本质非线性部分，G0（s）为前向通路中的线性部分。由结构图经过谐波线性化后，得到它的闭环频率特性为

图7-29　含有本质非线性环节的控制系统

其闭环特征方程为

得到

由上式，对照线性系统中的奈奎斯特稳定判据知，相当于线性系统稳定性分析时复数平面上的（－1，j0）点，所以当满足G0（jω）＝－1 时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡的。

对于非线性系统，输入为正弦信号XSinωt 的情况下，如果系统的线性部分与非线性部分满足上式，则系统是自持振荡的。

下面进行非线性系统的稳定性描述。

首先求得非线性系统的描述函数N（X），然后由式（7-69）在极坐标图上作描述函数N（X）的负倒数曲线，同时将固有特性G0（jω）也作在极坐标图上。

由奈奎斯特稳定判据得到：

当G0（jω）曲线不包围曲线时，该非线性系统是稳定的。当G0（jω）曲线包围曲线时，该非线性系统不稳定。两种情况分别如图7-30（a）、（b）所示。

图7-30　非线性系统的稳定性

（a）不包围曲线；（b）包围曲线

当G0（jω）曲线与曲线有交点，该非线性系统的稳定性由临界点邻域的运动性质来决定。即系统可能是稳定的、发散的，或者是自持振荡的，如图7-31所示。

在图7-31（a）中，临界点a 邻域向右方的扰动，使得被G0（jω）曲线包围的曲线的部分以幅值增大而趋于a 点运动，而临界点a 邻域向左方的扰动，使得不被G0（jω）曲线包围的曲线的部分以幅值减小而趋于a 点运动。因此临界点a 为自持振荡点。在图7-31（c）中，临界点a 邻域两边的扰动都要使得运动脱离a 点，因此不能形成自持振荡点。在图7-31（b）中由于有两个临界点，a 点和b 点，通过扰动分析，只有图中的a 点可以形成自持振荡。

在形成自持振荡的情况下，自持振荡的振幅由曲线的自变量X 的大小确定为Xa，自持振荡的频率由G（jω）曲线的自变量ω来确定为ωa 如图7-31所示。

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图7-31　－曲线与Go（jω）曲线相交时的稳定性

（a）自持振荡点；（b）两个临界稳定点；（c）非自持振荡点

【例7-8】 已知死区＋继电特性的非线性控制系统如图7-32所示，其中继电特性参数为M＝1.7，死区特性参数为Δ＝0.7，应用描述函数法作系统分析。

图7-32　死区＋继电型非线性控制系统

解：带死区的继电型非线性环节的描述函数为

其负倒数函数为

当X 为变量，由Δ开始增加时，曲线从负无穷处出发沿负实轴增加，相角始终为－π，所以曲线位于G（jω）平面的负实轴上，幅值大小随着X 的增加先减后增，在X 增加到

时，有极大值

作曲线如图7-33所示。

图7-33　死区继电型非线性系统的描述函数分析

进而，在图上作G（jω）曲线，当ω＝140 时，G（jω）曲线穿过虚轴，即

|G（jω）|ω＝140＝1.56

当M＝1.7，Δ＝0.7 时，曲线的端点值为因此，G（jω）曲线与曲线在处两次相交，两次相交的X 的值为

对于A 点邻域，被G（jω）曲线包围的段上，X 是增幅的；不被G（jω）曲线包围的段上，X 是减幅的。因此在A 点邻域，扰动作用使得系统的运动脱离A 点。而在B 点邻域两边的运动，基于奈氏稳定性判据而形成自持振荡。振荡频率与振荡幅值如图7-33所示为

从图7-33可以看到，该非线性系统如果要想消除自持振荡是不可能的。减小开环增益使得奈氏轨迹G（jω）向右移动，或者增大死区限Δ和减小继电特性的幅值M 都可以使得两曲线脱离相交，但是系统也就由于不敏感于控制信号而与控制无关了。可以通过上述参数的调整来设法减小自持振荡幅值的大小。