1.RLC串联电路的电压电流关系
由电阻R、电感L和电容C组成的串联电路,简称为RLC串联电路,如图3-27所示。
当电路接通交流电压u时,由于流过各元件上的电流为同一电流i,在电阻R两端产生的电压降UR=IR,电流I与电压UR相位相同;在电感L的两端产生电压降UL=IXL,电压UL超前电流90°;在电容C两端产生电压降UC=IXC,电压UC滞后电流90°。根据相量形式的基尔霍夫电压定律,有
图3-27 RLC串联电路
2.RLC串联电路的复阻抗及相量图
复阻抗Z是正弦交流电路中一个非常重要的概念,它决定了电压、电流有效值的大小和相位间的关系。
式(3-38)中,
Z=R+j(XL-XC) (3-39)
令
X=XL-XC (3-40)
则有
可见,在RLC串联电路中,电压相量与电流相量之比为一复数Z,它的实部为电路的电阻R,虚部为电路中的感抗XL与电容XC之差X,称为电路的电抗,Z称为电路的复阻抗,简称阻抗,单位为欧姆(Ω)。
将复阻抗写成指数形式,则有
式中
由以上分析可知,阻抗的模|Z|及辐角φ的大小只与电路参数及电源频率有关,与电压及电流无关。
图3-28 阻抗三角形
复阻抗的模|Z|、电阻R、电抗X构成一个直角三角形,如图3-28所示,称为阻抗三角形,辐角φ称为阻抗角。
图中, R=|Z|cosφ (3-45)
X=|Z|sinφ (3-46)
对电压回路方程变换,则有
即复阻抗的模|Z|等于电压的有效值与电流的有效值之比,辐角φ等于电压与电流的相位差角,也即
用阻抗形式表示的RLC串联电路图如图3-29所示。
图3-29 阻抗形式表示的RLC串联电路图
【例3-10】将电阻为6Ω,电感为25.5mH的线圈接在220V的工频电源上,求:
1)感抗和阻抗;
2)电流有效值。
解 1)感抗XL=2πfL=2×3.14×50×25.5×10-3≈8Ω;
阻抗。
2)电流有效值。
3.RLC串联电路的性质
根据电路参数可得出RLC串联电路的性质,三种情况的相量图如图3-30所示。(www.xing528.com)
1)当XL>XC时,φ>0,即电压超前电流,电路呈感性;
2)当XL<XC时,φ<0,即电压滞后电流,电路呈容性;
3)当XL=XC时,φ=0,即电压与电流同相位,电路呈阻性。
图3-30 RLC串联电路相量图
a)XL>XC b)XL<XC c)XL=XC
由上面分析可知:-90°<φ<90°,当电源频率不变时,改变电路参数L或C可以改变电路的性质;若电路参数不变,也可以改变电源频率达到改变电路的性质。
式中,UX=|UL-UC|。 (3-51)
电压三角形与阻抗三角形是相似三角形。
【例3-11】图3-31为移相电路,已知输入电压Uin=1V,f=1000Hz,C=0.01μF,欲使输出电压uo较输入电压uin的相位滞后60°,试求电路的电阻。
图3-31 例3-11图
a)移相电路 b)相量图
解
解法一:设电压电流为关联参考方向,由已知条件,得
根据欧姆定律,有
根据题意,输出电压uo较输入电压uin滞后60°,即,也即,解得,。
解法二:以电流为参考正弦量,画出相量图如图3-28b所示,由相量图,得tan60°=,所以。
由例3-11可以看出,在交流电路的计算中,有些电路可借助于相量图的分析方法,使解题过程变得简便。
【例3-12】RLC串联电路,已知R=30Ω,L=127mH,C=40μF,电源电压u=。求:
1)电流i;
2)各部分电压uR、uL、uC;
3)相量图。
解 1)由已知条件,得,Z=R+j(XL-XC)=[30+j(40-80)]=(30-j40)Ω=50∠-53°Ω。
由于,所以有,可得。
2)先求各元件电压的相量
电阻两端的电压。
电感两端的电压。
电容两端的电压。
由此可求出各元件瞬时值为,,V。
3)相量图如图3-32所示。
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