地球表面上凸造成地平线的现象

§1-1 地平线的出现

假如我们身处一片森林之中，我们低下头观察脚下的大地，会发现有的地方比较平坦，有的地方比较崎岖。我们环顾四周，发现周围全是茂密的高大树木，以至于我们的视野仅仅局限于旁边这几棵树。我们抬头看看天空，它好像就是个平面，且离大地十分遥远，以至于当我们躺在地上看着天空的时候有种怕掉向无尽天空的恐惧感。这时候，我们很容易得出这样一个结论：地面和天空是离得很远的，无论如何，我们都触碰不到天空。

为了探索更多有意思的地方，我们走出森林，来到一片十分广阔的平原上。我们的视野是如此开阔，以至于我们有种可以看遍整个世界的错觉。但是当我们眺望平原的最远方时，我们却发现了一个十分令人震惊的现象：平原的尽头仿佛和天空连接在了一起！它们的交界区域构成了一条线！

这怎么可能！天空明明离我们很远，它怎么可能和地面相接！

为了看看它们是不是真的相接，我们朝着这条交界线走去。但奇怪的是，不管我们走多久，似乎都无法接近这条交界线。就好像我们在向前走，而它以同样的速度向后退！

当我们走了相当长的距离并且感到没有任何希望靠近它的时候，我们想往回走了。可当我们回头看的时候却发现，我们已经看不到之前的森林了！我们期望看到森林的地方现在被一片天空取代，且这片天空和平原又连接起来形成了一条线！我们环顾四周，发现四周除了平原没有其他任何东西，且任何方向的平原尽头都和天空形成一条交界线——我们已经被这条交界线团团围住了！现在，各个方向的交界处好像都离我们一样远，以至于我们视野中的平原看起来就像一个圆盘，天空就像是一个半球盖在这个圆上！（为了方便描述，我们之后将这天-地交界线称为地平线）

但是这只是看起来像，其实我们仔细想想会发现不可能是这样的。如果说平原真的是个圆面，且它的尽头被天盖住，那当我们朝着一个方向一直走的时候，即使我们走不到这个交界处摸一摸天，也应该发现走得越远，前方的地平线相比后方的地平线会离我们越近。可是当我们尝试这么检验时，我们却发现无论我们朝哪个方向走，走多远，任何方向的地平线仿佛都和我们保持同样的距离，我们仿佛永远都处于这条交界线构成的圆的圆心！更可以直接反映出问题的是，我们从森林出发的时候并没有看到有天盖在前方的平原上，但当我们走到平原中回望森林的时候，我们却发现天盖在了原来的路途中！而如果我们现在往回走，也只会发现，森林前的平原根本没有被天空盖住！

所以我们可以得出结论：天不会“从天而降”盖在平原上。那我们如何解释亲眼看见的天空仿佛盖在了地面上的现象呢？我们回想起曾经在森林中观察到的一个现象：当我们抬起头看着天空时，有时候会看到树木和天空在视线中重合，仿佛树木和天空是相接的。而实际上树木并未与天空相接，只是因为树木、天空和我们的眼睛处于一条直线上，所以我们才有这种感觉。同样的，我们可以推测：仅仅是因为平原、天空中的一些点与我们的眼睛处在一条直线上，我们才会产生平原和天空相接的错觉，而地平线就是由这些处于一条直线上的点构成的。但随之而来，我们立即发现，这个平原其实根本不是个平面！

图1-1　平面地形

如图1-1所示，如果平原真的是个平面，则不管我们走多远都仍然可以看到森林，且我们看到的地平线永远是由森林和天空形成的，在平原上是不可能出现地平线的。但是我们之前的确看到地平线出现在平原上啊！

你可能说：“或许之前看到的地平线本就是出现在森林的，只是因为我们走得太远了看不清树木，所以误认为地平线出现在平原上。”

为此，我们可以做一个实验来检验究竟地平线能否出现在平原。我们在天快要黑的时候在靠近森林的平原位置放置一盏亮灯，然后在平原上朝着远离森林的方向走，边走边注意地平线和这盏灯的位置关系。起初，的确森林和天空形成地平线，灯也可以明显看到。但是随着我们越走越远，我们发现树木变得越来越“矮”，且地平线离灯越来越接近，直到某个时刻我们突然发现，灯的亮光消失了！我们又往回走走，又突然发现灯的亮光可以看见了！我们一来一回检验好多次，总是发现灯光是突然出现或消失，而不是渐渐出现或消失，这就说明灯光的产生和消失并不是因为我们和灯的距离的变化，而是因为地平线的位置随着我们的移动在灯的前后来回移动。

那也就是说，地平线是可以出现在平原上的，同时也意味着这个平原其实并不是一个真正的平面！

随之而来的问题是：既然这个平原不平，那么它究竟是怎样的地形呢？我们能想到的最简单的两种地形是向上凸和向下凹。我们来看一下这两种地形能否解释平原上出现地平线的现象。

首先考虑一下向上凸的情形，这时候平原就是个山丘：

图1-2　上凸地形

如图1-2所示，上凸的地形几乎完美地解释了地平线的现象！在这样的地形中，天空中的一些点、平原上的一些点、我们的眼睛有机会处在一条直线上，而这些点就构成了平原上的地平线！不仅如此，根据这样的地形我们还可以推测，当我们在平原上走动时，地平线也会跟着我们走，而这和实际观测到的现象是正好吻合的！

看来这个平原很可能是一个上凸的山丘，不过，我们还不能武断地下结论，因为或许下凹的地形也可以解释这些现象呢？我们来看看下凹的地形，这时候平原就是个盆地：

图1-3　下凹地形

如图1-3所示，在这样的地形中，地平线只能出现在森林，和我们观测到的结果是不吻合的，所以这种下凹的地形被排除了。

现在，我们可以确定脚下的平原实际上是个山丘了吧？严格来说，还是不可以。因为我们只考虑了最简单的平面、上凸、下凹这3种地形，并且确定上凸形可以解释我们观测到的现象。但是地形多得是啊，岂止这3种啊！说不定什么波浪形、扭曲形，什么乱七八糟的地形也可以解释我们观测到的现象，而我们没有也不可能全部检验完啊！如果真的有什么奇怪的地形也能满足我们的观测结果，那么我们究竟该说哪个是正确的，哪个是错误的呢？

这个问题几乎是无解的，我们先放着不管。不过，我们不妨先暂时假定脚下的平原是个山丘，因为即使我们又发现有其他地形可以解释地平线的现象，估计也没有这个上凸地形简单，所以最起码它应该是能用的模型里最简单的一个。

§1-2 矛盾的产生

虽然我们不能完全确定脚下的地面是个山丘，但是我们可以完全确定的是，脚下的平原绝对不是个平面。也就是说，它绝对不是个名副其实的平原。但是，我们仔细想想又会觉得奇怪：既然平原不是真的平，那么为什么我们一直觉得它是平的呢？以至于到现在我还忍不住叫它平原！

我们回想一下在平原中行走时的感受，会发现有两点原因使得我们愿意称之为平原：1）我们看脚下的每一小块区域都像一个平面；2）当我们在平原上行走的时候，我们的身体总垂直于平原，我们可以站得很稳而不怕有坡度，即平原不光是平的，还是水平的。

但是，我们立即发现平原是水平的这个感受和我们之前的山丘假设是相矛盾的！因为当我们在山丘上走的时候，怎么可能总是感到地面是水平的？你可能说在山丘的顶端是水平的，但是在越靠近山丘的边缘部分应该越可以感到它是有坡度的。可我们在平原上走了那么久都没有感受到有明显的坡度。并且你看看我们之前根据山丘地形给出的图像，树木是斜立在山坡上的，而实际上树木都是垂直于地面的啊！这该怎么解释？

我们想：或许山丘的假设是错误的。那我们就再找一个既可以解释地平线，又符合地面无坡度现象的假设。但是我们立即发现，除了平面，其他地形都是有坡度的！但我们早就说过，平面是不可能解释地平线的现象啊！

这就非常矛盾了，我们几乎陷入一个死胡同！现在，只有一种方法可以帮助我们逃离这个死胡同：我们就假设地面是个山丘，但是这个山丘隆起的幅度实在太小了，其坡度非常小，小到我们根本察觉不到，从而造成了平原的假象……

§1-3 海平线的出现

既然我们自认为的平原不是平原，那么我们现在自然就很想找一个名副其实的平原了。但是上面的推测让我们发现了很尴尬的一点：不管我们走到哪里，不管我们觉得脚下的大地有多么水平，我们都无法排除它有点坡度而我们根本察觉不到的可能性。但是，如果我们拓展一下思维，不仅仅停留在大地这一个层面，我们就有可能找到真正的“平原”。

回顾在森林时看到的一些现象，我们会发现，虽然森林的地面显得崎岖不平，但是一旦下雨，沉积在地面的水面永远是非常平，并且是水平的。也就是说，我们要找一个有之前平原那么大的水面，那这一大片水面就绝对是名副其实的平原了！根据我们之前对于平面的情形分析，我们可以推测，无论这个水面有多大，我们都可以将其尽收眼底，即使有地平线，地平线也不可能出现在水面上，只可能出现在水面外的区域。

直到我们来到了海边……

为什么海面上还是有地平线？不对，是海平线……

不可能，海面一定是平的！按理说，我们一定可以把整个海面尽收眼底的！既然事实不是这样，那么前面的海平线就真的是天盖在了海面上形成的！如果我们朝着这条海平线前进，我们一定会越来越接近海平线，说不定还能摸到天呢！

于是，我们借来一条船奋力地向着海平线进发。可是事实却同我们之前在平原时发生的一模一样：不管我们怎么往前进，我们都无法靠近海平线！并且当我们实在觉得无望想回去的时候，历史又惊人地重现了：我们已经无法看到我们出发时的海岸了，取而代之的是一条一模一样的海平线！我们惊恐地环顾四周，发现我们已经被海平线包围了！

§1-4 一个看似违反常识的假设

现在，我们不得不接受的一个事实是，在海面上观察到的现象和在平原上观察到的现象是一模一样的。那么，之前用于猜测平原地形的逻辑也可同样地运用于海面上了，我们就可以同样地推测出，海面其实不是一个平面，而很有可能也是个上凸的曲面！但是这又很矛盾，海面肯定是水平的，怎么可能是上凸的？

现在，一切都变得非常矛盾、非常混乱了！其中必定有某个环节出现了问题，我们一定要把它揪出来！

我们再来仔细地思考一下。如果海面是个平面，那么无论如何，海面都可以被尽收眼底，所以海面一定不是个平面。而对此合理的猜测是：海面应该是上凸形的。另外，我们在海面上行驶的时候观察到，海面的确总是水平的，即海面上的重力方向（等价于人站立的方向、石子悬挂或静止下落的方向等）垂直于海面。由上凸地形和重力垂直于海面，我们可以画出图1-4。

图1-4已经明显地表明：或许随着距离的变化，重力的方向变得不再平行了！而这或许就是我们逃离矛盾的一个契机了！

图1-4

我们之前一直默认重力方向总是平行的，或许这种看法是错误的，也或许正是这种错误的看法导致了诸多矛盾的产生。但如果重力的方向在随着距离的变化而变化，海面是上凸曲面与我们在任何一点总是看到水面是水平的就不存在矛盾了。而很可能平原的情形也是如此：本来在每一点平原都是水平的，只是由于距离拉远了，重力方向才会不同，从而我们感受到的水平方向也会不同，那感觉不到坡度就变得很自然了啊！

一切逻辑在这个新假设下变得十分协调，但是我们忍不住会感到难以接受——这也太违反常识了吧！

不过，这真的违反常识吗？我们还是先分析一下这样的常识是怎么来的。首先，正如我们在日常生活中所看到的，如果两个人站着，那么他们直立的方向总是平行的。同样的，当我们在两个地方同时悬挂起石子的时候，我们总是看到它们的悬线是平行的。这样的事情我们在生活中见得太多了，以至于在我们头脑中形成这样一种惯性思维：重力的方向总是相互平行的。但是如果我们仔细分析一下这些现象发生的条件就会发现，它们总是在相当近的距离下发生的。我们从来没有观察过相差几千米甚至几十千米这样的距离下的两个地点的重力方向是否相同啊！这样就存在一种可能性：当两个地点的距离越拉越大时，两个地点的重力方向可能会越来越趋于不平行！

上面只进行了可能性的分析，指出这样的假设并不真正违反常识。但这样的假设究竟是对是错呢？现在，我们要设计实验来实实在在地检验。

图1-5　检验重力方向是否平行

如图1-5所示，我们可以在A地用一根短绳静止地悬挂一颗小石子，那么这根短绳所指的方向就是A地所受重力方向。我们再在一个相对较远的B地用一根短绳静止地悬挂一颗小石子，那么这根短绳所指的方向就是B地所受重力的方向。现在，检验这两个地点的重力是否平行就相当于检验这两根短绳是否平行了。我们该怎么检验呢？图中已经很明显地表示出，我们可以找一根十分长的绳子，将这根绳子的一端连接在A地短绳顶端，另一端连接在B地短绳末端，然后量一量图中所示的1、2两个角，就可以确定两根短绳是否平行了——如果两个角相等，则说明两根短绳平行；如果两个角不相等，则说明两根短绳不平行。我们期望得到的实验结果是这两个角不相等。

实验的思路是完全没有问题的，但是我们发现操作起来有一个麻烦的地方：那么长的绳不好找，要在那么远的距离拉直也挺麻烦的。虽然原则上这不是问题，但是我们有一个非常聪明的办法可以在不用长绳的情况下达到同样的效果。

之前，我们说到，当天空中的一些点、平原、我们的眼睛在一条直线上的时候，平原和天空在视线里重合形成地平线。这就给我们启示，或许我们有办法用视线代替长绳。总结起来有这样一个原理：如图1-6所示，如果有三个点排列成一条直线，那么我们总可以找到一个合适的位置观察到这三个点在我的视野里是重合的。反过来，如果我们总可以找到一个合适的位置观察到某三个点在我的视野里是重合的，那么这三个点是在一条直线上的。

图1-6　视线原理

利用这个原理，这根长绳就可以用视线来代替了。我们在A地的小短绳顶端系上一根十分笔直的小铁丝，然后观测的时候将小铁丝指向B地短绳系着的石子，直到我们用眼睛确定了小铁丝在视线里是和石子重合的，我们就知道了如果小铁丝一直延长的话，它是会通过B地的石子的。现在，根据小铁丝的指向和短绳的指向就可以测量角1了。用同样的方法可以测量角2。

实验方案拟定了，只剩下我们实际行动了。考虑到如果坐船到海上做实验，海水的运动一定会使船产生颠簸，而这样的颠簸一定会对我们测量角度产生影响，所以我们可以选择在平原做实验。当然，如果你说有风什么的，我们盖两个临时的小房子不就好了！

下一个问题是：该取两地距离多远？我们不知道重力方向随距离变化程度是怎样的，我们可以从好测的近点开始测量，如果测不出期待的结果，我们就再选远点。

取距离为100米左右，实验结果：两角几乎完全相同。

取距离为500米左右，实验结果：两角几乎完全相同。

取距离为1千米左右，实验结果：两角几乎完全相同。

取距离为2千米左右，实验结果：两角几乎完全相同。

取距离为5千米左右，实验结果：两角几乎完全相同！

没多久，我们就绝望了。因为离得再远，一方面，我们就要爬得高一点；另一方面，我们还不得不把石子换成灯，否则，我们根本看不到或看不清对方在哪里！

那现在的问题是：究竟是我们的距离选得太近以至于两个角实在太接近我们测不到，还是我们对于重力方向的推论根本就是错的呢？我们只能选择前者，因为如果我们选择了后者，我们立即就走投无路了！况且，其实我们的距离取得并不算远，这个不平行度太小以至于我们测不出来，也并不让人觉得意外。

所以我们现在就很怀疑我们测量角度的精度不够了。实际上的确如此。按照我们的规定，我们测量角度的工具只是普通的量角器。

图1-7　用量角器测量一个角

在图1-7中，我们用量角器量一个40多度角，你能根据这个量出来的结果准确判断这个角是45.1°，是45.2°，还是45.3°吗？不能！所以我们对角度的测量其实不是十分精确的。现在，我们要么就做一个精度更高的量角器，要么就换一个原理进行测量。在对两个方面都进行过思考后，我们非常幸运地发现了一个很简单又很有效的新原理。我们或许可以将这个不平行度进行放大，从而连角度都不再需要测量了——用镜子！

如果我们在晴朗时在茂密的森林里走动，我们时常会看到茂密的树叶将大部分阳光遮住，而只允许几小束阳光洒到地面。我们拿一面镜子放在一小束光下，我们会看到镜子将这一小束光反射到其他树木表面形成光斑。而如果我们只是轻微地转动一下这面镜子，我们会发现这个光斑会发生十分明显的移动，并且光斑离镜子越远，这样的移动就越明显。我们完全可以用光斑的明显移动来体现镜子的微小角度变化，从而放大对于角度的测量啊！不过在运用这个放大效应之前，我们要了解这个效应的规律，即我们要找到太阳、镜子、光斑之间的位置关系。

如图1-8所示，我们可以取一面十分小，小到可以被近似看成一个点的镜子，然后将这面镜子放在一束太阳光下，它会将一小部分太阳光反射到一棵树的树干上形成光斑。我们现在将太阳和镜子以直线联结，再将镜子和树干上的光斑也以直线联结，然后寻找两条连线的关系。我们会发现这两条直线是处在一个平面内的，且当我们分别测量两条直线与镜子法线^[1]的夹角ɑ和β时，我们会发现ɑ=β。

如果我们的眼睛处于光斑的位置朝着镜子看，我们就可以看到太阳。而只要眼睛的位置有一点点偏离光斑，我们就看不到太阳了。

运用上面这个原理，我们就可以开始设计实验了。

图1-8　反射规律的探究

图1-9　用镜子探究重力方向是否平行

如图1-9所示，我们在A地悬挂起一盏灯，并在B地悬挂起一面相当小的镜子（这是为了之后我们只能在一个特定点看到反射的灯光）。现在，为了满足图中标出的直角关系，我们用之前说过的视线原理，在灯处用一根铁丝垂直于悬线指向B处的镜子，从而确定出镜子所该处的高度。实验装置摆放好后，我们让眼睛贴着A处的悬线上下寻找B处镜子反射的灯的像：如果我们正好在灯的位置处看到了对面镜子中有灯的像，则说明镜子悬挂的方向和灯悬挂的方向平行；如果我们在高于或低于灯的位置看到镜子中灯的像，则说明镜子悬挂的方向和灯悬挂的方向不平行，从而证明重力方向不平行。结合之前的上凸地形图像，我们对实验结果的预测是：我们将在高于灯的地方看到镜中灯的像，并且A、B两地离得越远，看到的地点越高。

现在，所有原理上的困难我们都克服了，只剩下付诸实际行动了！我们依然需要先考虑：1）该在哪里做实验？2）A、B两地该离开多远？

在哪里呢？之前我们说过海面颠簸的问题，而现在颠簸问题就显得更大了，因为我们这次的实验灵敏度太高了，所以我们仍然只能平原上进行实验。

离多远呢？我们同样可以先选容易观测的近距离进行实验，如果效果不明显，则再移得远一点，并可以借鉴近距离观测的经验。

实验结果显示，在100米左右的距离，基本上就是在灯的位置看到B地镜子里反射出的灯光。这虽然让我们有点不满意，不过毕竟两地距离才100米左右。我们再选得远一点，我们选500米左右的距离，此时，我们惊喜地发现，我们在灯上方8厘米左右才能看到B地镜子中有反射光了！选1000米左右的时候，位置已经在灯上方的31厘米左右了！再选2000米左右的时候，位置已经到达灯上方的126厘米左右了！这已经是相当长的长度了！可见重力方向随着距离的增大的确越来越不平行，且其随距离变化的规律也正如我们所预测的！

§1-5 球的假设

虽然我们在平原上验证了重力方向随距离增大而越来越不平行，但是这样的结论适用于海面吗？首先，我们完全可以想象突然有一天下了一场超级大暴雨，平原被水淹没形成海面，由于我们的实验是悬在空中进行的，和地形无关，因此，实验结果应该不会有所变化。另外，我们可以看到镜子对角度的放大效应是非常高的，那么即使海面有颠簸，对我们的观测影响应该也不是很大。而事实的确如此，当我们在海面上进行同样的实验时，我们发现镜子中灯的像明显高于灯的位置，只是会在这个高出的位置附近摆动而已。

现在，我们对于平原、海洋是凸起来的曲面，且曲面上的重力总是垂直于曲面的假设有了很大的信心。可是森林怎么办呢？虽然森林是怎样的几何构型我们还没有去探究，但是我们可以用之前的镜面实验来检验它的重力方向是否随距离变化。实验的结果是：其重力方向的确随着距离而改变！这时候，我们就只差一个几何构型的构建了。然而有个问题：我们之前在森林中行走的时候发现森林地势有些地方平坦，有些地方崎岖，这好像很难像平原和海洋的情形一样可以用一个几何构型来描述啊！不过，我们可以对森林的总体情况进行猜测：我们猜森林总体上其实也是一个曲面，只是在这个曲面上偶尔有些地方凸起或凹陷。

为了检验这一猜测，我们爬上一棵十分高的树，环顾四周。这时候，我们发现眼前的景象和在平原、海面上看到的景象惊人地相似：我们看到整座森林就像一个绿色的大圆盘，而天空像一个半球盖在了圆盘上，远方的一些树木和天空的相接处形成地平线。而对应于猜测平原是上凸曲面的逻辑又可以运用在森林中了。我们又得出了森林是一个上凸曲面的猜测！

现在，我们已经有很大信心认为，平原、海洋、森林从整体上来看都是上凸曲面。而因为地面总是相互连接，这些曲面其实并不是互相分离的。我们想想，这样的曲面一直连接下去会是怎样的一个构型？

球体！

我们现在不管那么多了，开始大胆地假设，如果这个假设错了，我们再尝试其他假设不就得了！我们假设脚下的大地总体就是一个大球，只是这个大球的表面并不总是像海面那样圆滑，从而它就不是一个完美的球。球的表面有些地方是大山，有些地方是平原，有些地方是海洋……而球表面的重力总是指向粗略的球心（之所以说是粗略的，是因为它不是一个完美的球）。

那现在有个问题是：这个球有多大？这个问题之所以重要，是因为如果这个球十分巨大，其半径远远大于我们所看到的任何树木、高山的高度，这些高山、树木对于球的不规则性的影响就很小了，我们就真的可以称之为球了。而如果这个球的半径很小，几个高山就可以把这个球整体弄得不规则了，我们就有点不敢称之为球了。不过在此之前，我们姑且叫这个球为地球。

其实从主观上来看，地球一定是相当大的，不然我们在海面上怎么不会明显感觉到旁边的水域在向下凹呢？但是这也使得问题变得很困难了，这么大的球半径我们到底该怎么测量呢？

为此，我们想一想我们平时是怎么测量物体长度的。比如我面前的桌子，我该怎么测量它的桌边长度呢？第一想法是，我们拿起一把尺子，将尺子的零刻度线对准桌子的一端，并沿着桌边摆放尺子，此时尺子会在桌子的另一端显示出一个刻度，我们读出这个刻度就是桌子的长度了。但这样的测量方法根本无法用于测量地球的半径，因为我们根本找不到地球半径的另一端。

那该怎么办呢？我们不妨想这样一个问题：究竟尺子测量长度的原理是什么？如果我们知道了这个原理，或许我们就可以根据这个原理另辟蹊径来测量地球半径。这看起来是我们现在唯一的出路了。我们现在就先从探寻尺子测量的原理开始。

§1-6 尺子测量的原理

我们与其去探寻尺子测量的原理，不如换个思维想想：如果要你去制作一把尺子，你会怎么制作呢？或许你就是根据某种原理来制作尺子的，等你制作完，你可能就很明白它的原理了。

为了制作一把尺子，我们首先要选择一个长度单位。比如，我可以选择我的大拇指的长度为一个基本单位。如果有根短棍，当我用大拇指和它对齐的时候，它的首末端正好可以和大拇指的首末端重合，我们就认为这根短棍和我的大拇指长度一样，且叫这根短棍的长度为“1拇指”长。如果这根短棍需要2个大拇指前后搭起来才可以重合，那这根短棍的长度就为“2拇指”长，需要3个就是“3拇指”长……

现在，我们就可以拿出一根长绳子来制作一把尺子了。我们用拇指首端对齐绳子的首段，这时拇指末端会和绳子上一点重合，我们标记这一点为1拇指。我们再将拇指首端移到这个1拇指标记处，这时拇指和末端和绳子的另外一点重合，我们标记这点为2拇指。再将拇指首端移至与2拇指标记处重合，将绳子上与拇指末端重合的点在标记为3拇指……这样反复操作后，绳子上就标满了间隔相同的一系列点。

现在，我们要用这把由绳子做成的尺子量一量物体的长度，比如之前说过的桌边。我们可以将桌边的一端和绳子的首端重合，并让绳子沿着桌边拉直，此时桌边末段会和绳子上某点重合。假如这个点正好是被标记过的点，比如是24拇指对应的点，那么这个桌子的一条边的长度就是24拇指，这意味着它的长度相当于24个我的拇指前后排列起来的长度（说起来有点恐怖，不过你知道我什么意思）。但是如果这个桌边的末端不是正好和我们标记的点重合，比如它在23拇指标记点和24拇指标记点之间，我们该怎么办呢？为了解决这个问题，我们要对这个尺子进行细化。

我们想把23～24拇指对应的这段长度十等分，从而得到23.1、23.2、23.3、23.4、23.5、23.6、23.7、23.8、23.9这9个新的标记点。这样，或许桌边末端和其中一个点重合，比如23.4拇指对应的点，那么桌边长度就是23.4拇指了。现在的问题是：我们该怎么保证十等分，即在23～24之间分得的这10段长度是完全相等的呢？

什么叫作完全相等？其意思就是如果把这10段长度剪下来后，这10段长度各自的首端重合时，它们的末端也重合。为此，我们用折叠的方法。我们可以先将绳子对折以使得绳子的23拇指标记点和24拇指标记点重合，那么这个对折点就可以被标记为23.5拇指。我们肯定还想如法炮制，再让23标记点和23.5标记点重合的对折，但是此时的对折点是23.25拇指。虽然23.25拇指也是一种细化，也可以使用，但是因为我们使用十进制，所以我们更希望将23到23.5的区域五等分形成23.1、23.2、23.3、23.4这4个新的标记点，这样明显会更方便我们的读数。为此，我们这次不是对折1次，而是对折4次。我们总是可以小心地控制对折点使得23～23.5拇指区域的绳子正好可以对折4次，并且4次对折形成的5段绳子正好重合，从而这4个对折点就可以被标记成23.1、23.2、23.3、23.4。同样的，在23.5到24的区域我们也可以用同样的方法对折4次得到23.6、23.7、23.8、23.9拇指这4个对折点，这样我们就将23～24区域分为了相等的10份，新加了9个标记点。

你可能会说，越往下对折绳子重叠得越厚就越难对折了。其实只要我们知道了等分的原理，我们完全可以用不同的方法来实现：我们先估计一下1拇指的十等分（即0.1拇指）的长度有多少，然后找一段这样大概长度的短绳子然后检验一下这段短绳的长度是不是的确是0.1拇指：如果它前后10段连接起来的长度小于1拇指，就说明它的长度小于0.1拇指；如果它前后10段连接起来的长度大于1拇指，就说明它的长度大于0.1拇指。我们总是可以恰当地控制它的长度使得它的10段长度正好是1拇指，这样，它的长度就是0.1拇指，我们就可以用它在尺子上标记23.1、23.2、23.3……23.9这9个新标记点。

我们不单单可以在23～24之间的区域进行这样的细化，我们还可以在任意的n～n+1拇指的区域进行这样的细化。这样，我们测量的精度就到达了0.1拇指。当然，我们还可以将任意一个0.1拇指长度的区域进行十等分，得到0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.06、0.07、0.08、0.09这新的标记点……如法炮制，我们还可以对任意一个0.01拇指长度的区间进行十等分，得到0.001、0.002……只是越往下等分就越困难，就越要使用更加巧妙的方法进行等分。不过要注意的是，无论我们等分方法有多巧妙，一方面，等分是不可能无限进行的；另一方面，人眼观测总是有误差的，所以我们的测量结果都只是近似值。

现在尺子的原理已经很明显了，就是一段特定长度的成倍数重复。比如，刚开始我们用1拇指长度作为重复单元，后来我们又用0.1拇指长度作为重复单元，之后还可以用0.01拇指做重复单元……等分的目的就是要保证每两个刻度之间的长度都是相同的，从而才能实现成倍数的重复。

我们可以叫1拇指长度的单位是拇指、叫0.1拇指长度的单元为分拇指、叫0.01拇指长度的单位为厘拇指……米、分米、厘米、毫米等从原理上都是这样获得的，只是我们开始时选了1米而不是1拇指作为基本的重复单元。

根据这里得到的尺子测量长度的原理，我们知道了我们测量物体的长度究竟是在测量什么。比如，如果我们用一把很长的米尺测量到一栋楼的高度是10.523米，这把尺子反映给我们的信息是：这栋楼从楼底到楼顶的长度是1米这段长度的10倍，加上1分米（0.1米）这段长度5倍，加上的1厘米（0.01米）这段长度的2倍，再加上1毫米（0.001米）这段长度的3倍，又或者说是1米这段长度的10.523倍。所以其实问楼有多高，在以米为单位的情况下就等同于问它是1米长的多少倍，而为了获得这个倍数，其实并不一定要用尺子直接测量。或许我们可以通过其他途径推测出这栋楼的高度是1米长的10.523倍呢？同样，对于地球的长度，或许我们也可以通过其他途径推测出地球的半径是1米长的多少倍呢？

§1-7 测量方案的获得 s

在想找什么办法测量地球半径之前，我们不妨先考虑前面提出的那个稍简单一点的问题：在不用尺子直接量的情况下，我们如何测量前面那栋楼的高度？为了简单起见，我们不妨先考虑高度为10米的楼（假设我们用一把长尺子测量过），这应该会使我们更容易分析测量的过程，又不妨碍得到测量的方案。

当我们在白天看着这栋楼想测量方案时，看到太阳光洒下使得楼、其他建筑物、树木等都留下影子，并且好像各个物体的高度和它的影子长度所成的比例都是一样的。这样的现象给了我们灵感：

一天之中，楼的影子长度会变化，我们总可以找到某一时刻楼的影子长度正好是1米，那这时候，我们只要知道楼的高度是它的影子长度的多少倍就可以了。而这个倍数或许可以通过高度较低的物体获得。比如，这个时候我们在地面竖起一根短木杆，它也会在地面留下影子，由于这根木杆比较短，因此，我们直接用把短尺测量一下这根木杆的高度和影子的长度，就可以知道这时候木杆的高度是其影子长度的多少倍了，或许这个倍数与楼的倍数一样呢？

通过实验，我们会发现，当楼影是1米长的时候，我们竖起一根同为1米长的木杆，木杆的影子长度是0.1米，那也就是说木杆的高度是影子长度的10倍。由此，我们推测楼的高度也是其影子长度的10倍，即10米，和我们之前用长尺子直接测量的结果不谋而合！

如果我们一开始就用这样的方式测量楼的高度，则实际上我们直接测量的只有楼影的长度1米、木杆的高度1米、木杆影子的长度0.1米，这些只需要用一把1米长的尺子直接测量就可以了，而我们由此得到的是10米高的楼的高度！而重点是，这种方法是不需要用尺子直接对准楼的两端的，测量地球长度时我们遇到的正是这个问题！

我们对这种方法就有了点信心了，并且我们还想改进一下这个方法：为什么一定要在楼的影子是1米的时候测量？一天要寻找这一时刻也怪累的！既然我们可以通过木杆得知楼的高度是其影子长度的多少倍，那么我们只要将这个倍数乘楼影的长度不就好了！比如，我们在某一时刻发现楼影的长度是2米，而测得倍数是5倍，我们就可以算得楼的高度是5×2米=10米。这样，我们的办法就更容易操作了！

现在，我们就获得了一种测量楼高的方式，但是遗憾的是，用这种方式还是无法测量地球的半径。因为地球半径不可能会留下什么影子啊！那该怎么办呢？

我们还是用同样的策略，找到这次测量楼高的原理是怎样的，然后看有没有办法用同样的原理，但换一种方式来测量地球的半径。而寻求这个原理的过程，其实又有些等价于问：“为什么之前的楼的高度和影子的长度比例会和木杆相同呢？”

首先我们要画出图像。我们以楼高10米、楼影长1米；木杆高1米、木杆影长0.1米为比例画图，然后联结影子顶端和物体的顶端得到太阳的光线，如图1-10所示。

从图中，我们可以明显看到，原来是因为太阳光的光线是平行的，所以图中的两个三角形除了大小有差别外，形状完全相同。而对于形状完全相同的两个三角形，其内部边长比例按理应该会是相同的。因为我们可以想象，如果我们有缩身之术，可以保持人体形状不变而缩小，我们的手臂相比腿的长度比例应该还是不变的吧。由此，这两个形状完全相同的三角形的两条直角边的长度比例相同就很好理解了。

现在，我们就知道之前为什么楼和木杆分别相对于其影子长度的比例相同了，它基于这样一个原理：两个形状相同、大小不同的三角形，其内部对应边长之间的比例是相同的。

那现在我们的问题就是，如何用这个原理来测量一段我们无法用尺子直接测量的长度？比如现在有一段长度，要么是因为这段长度中间被一条河挡住，要么被一座高山挡住，要么像地球一样被一整个大地挡住，总之我们只能在这段长度的一端活动，而无法跑到另一端将尺子进行对齐。那我们该如何运用之前那个原理来测量这段长度呢？

图1-10

图1-11

图1-12

图1-13

如图1-11所示，我们只能在一小块区域内活动，而要测量的长度s？超出了这块区域。为了测量这条长度，我们可以在这块可活动的区域内画出一条线段，构造一个三角形，如图1-12所示。

由于这条线段在可活动区域内，所以我们是可以直接测量的，我们记这条线段长度为s。现在我们只要知道在这个三角形中s？是s的多少倍，再结合s的具体值就可以获知s？了。而这个倍数的获得，就要运用之前的原理了：我们可以在可活动区域内画一个和这个三角形形状完全相同但又小得多的小三角形，大三角形中两条边的倍数比会等于小三角形中对应两条边的倍数比，而小三角形的倍数比是我们可以通过尺子直接测量并计算得到的。

那么，首先我们要在可活动区域内获知大三角的形状。

如图1-13所示，其实只要知道图中两个角——角1和角2的大小，这个大三角形的形状就定下来了。而正好这两个角处于活动区域内，我们只要将小铁丝对准测量长度的另一端就可以确定出这两个角。接下来，我们在可活动区域内再根据这两个角画出一个小的三角形（可以自己确定这个小三角形该有多大），然后我们用尺子量一下这小三角形的两条边s1、s2，通过计算就可以得出倍数比，再将倍数比乘s就是要测量的线段s？的长度了。

你看，这个方法多巧妙！在整个过程中，我们只要测量一下长度s、s1、s2以及1、2两个角（这些都可在可活动区域内获得），就获得了无法测量到的s？的大小了！不过，你可能会说了，既然我们可以自己控制s有多大，而看起来是所有测量长度中最长的，那么我们让s越小测量不就越方便了吗？

没这好事！如果s越小，那就意味着s？相比s的倍数越大，也同样意味着小三角形中s2会比s1大得多！这样的话，以同样的底边s1画小三角形，最后得到的s2又会出奇地大，所以s2又会变得不好测了。

另外，这不是重点，重点是如过我们选择s太小，会导致最终得到的倍数误差非常大。我们之前说过，我们用量角器测量角度的时候是有误差的，而这个误差会在画小三角形并求倍数的时候体现出来。在实际测量时，将s画得越短，三角形两条边就越接近于平行，角度误差就会被放大得越厉害。

如图1-14所示，对于同样的底s1以及同样的角度误差，越趋近平行的情形，测量到的s2误差会越大，从而导致倍数误差也越大。所以我们测量的时候应该尽量让两条边不平行，或者等价于让s足够大，以减小误差。我们以后叫边s为基线，因为我们是以它为基础进行三角形构造的。我们以后在取基线的时候一定要注意，这条基线不能太过小于待测的长度，否则，最终的测量误差可能是灾难性的。

图1-14

§1-8 尝试测量地球半径 s

现在的问题是：我们如何用前面说的测量方案来测量地球半径呢？其实，问题已经不难了。

我们的可活动区域是地表以上，而要测量的距离是地表到地心的距离。这样，我们可以在地表上拉基线测量。考虑到地球的半径应该非常大，我们也应该画一条非常长的基线。海平线是我们可以看到的最远的距离了，我们不妨取自己与海平线的距离作为基线，并且这样做有一个好处——我们可以少测一个角！

图1-15是我们站在海边眺望海平线的图像，其中，基线s是我们的眼睛与海平线的距离，长度虽然长，但是可以测量。现在两个角中，角1可以直接测量，而角2不用测量了，因为我们知道它是直角——我们的视线是和地球表面相切的。(www.xing528.com)

所以现在我们要做的事情就是测量角1以及基线的长度。由于角1是可以在海岸边直接测量的，而s的测量则比较麻烦，因此，我们可以先测量角1，后测量s。我们说过重力方向指向地心，因此，当我们悬挂起一颗小石子时，这颗小石子就会指向地心。我们再举起小铁丝，通过视线重合的原理让它指向海平线，然后测量一下小石子的悬线和小铁丝的夹角就可以得到角1了。但是测量后我们发现了一个大问题：角1太接近90°了！实际上，我们根本分不清它和90°有何区别！由于角2也是90°，所以不要说误差问题了，在这样的情况下，小三角形中除基线外的两条边根本就是平行的，哪来的交点啊！（如图1-16所示）

图1-15　测量地球半径

图1-16

那现在该怎么办？我们想：不如站得高一点，估计站得越高，看到的海平线越远，测到的角度会越小，那这两条边应该不会那么平行了。

果然，当我们站到1000米左右的高山上观测海平线时，我们会发现角1减小了，但是也有89°左右的大小。现在的问题就是：虽然我们这次可以构造小三角形了，但是小三角形的两条边其实还是非常接近于平行的，也就意味着最终半径值对于角度的变化会非常敏感，而角度的测量又存在误差。那究竟角度测量的误差会有多大？它可能导致的半径值误差又会有多大？会在可承受范围内还是灾难性的呢？

首先，我们就要问我们用的量角器观测的精度到底有多高？或者说我们究竟能保证真实值在89°左右的多大范围？你可以自己观察一下你的量角器，你觉得当你测量一个角度的时候，真实值会在多大范围内？

保险起见，我们考虑最坏的情况：如果我们读错0.5°，会有怎样的后果？我们先考虑这样的角度会导致倍数产生多大的波动：我们拿一个1厘米=0.01米长的短棒，在短棒两端各系上一根十分长的绳子。将绳子拉直，然后用量角器确定绳子延伸的方向分别和短棒的夹角为90°和89°，直到两条绳子相交。

如图1-17所示，当我们将左边的绳子轻微摆动，使得角1在88.5°～89.5°之间大致变化时，我们发现s2会在40厘米（对应于40倍）左右和115厘米（对应于115倍）左右之间摆动。这也太可怕了！40倍和115倍差了不是一星半点啊！这样的精度是我们完全无法接受的！

图1-17　（示意图，非真实比例）

§1-9 提高测量角度的精度

看样子我们得再爬高点测量，但是如果我们再爬高，就意味着s会越大，就越难测量！那该怎么办？我们何不直视问题，把测量角度的精度提高，这样误差不就小了吗？实际上，我们之前在检验重力是否在长距离下还平行的过程中就已经想要这么做了！

现在，我们不再逃避了，我们要想办法提高测量角度的精度。

为了解决这个问题，我们仍然要先搞懂究竟测量角度的原理是什么。或者问问自己：如果让你做一个量角器，你会怎么做？

实际上有了之前制作尺子的经验，这个问题应该不是很困难。

什么是角度？从同一点出发向两个不同的方向画两条射线，那么这两条射线之间会夹出两个角。我们发现角度和长度有一点不同在于，长度是不存在大小上的限制的，多长的距离都有。而角度最大只有一整周。所以我们在这一整周里等分就好了。或许还按之前对于十进制的考虑，我们想把一周分为10等分，并起一个单位，比如随便给个字母Q表示好了。那么，一周的角度就相当于10Q。但这里就出现一个问题：我们发现对于像直角这样特殊的角度在这种十等分单位制下对应的角度为10Q/4=2.5Q不是整数，略麻烦。当然，你可能说麻烦就麻烦，就这样能用。的确能用，不过实际情况是曾经有人将一周分为360个等分，并叫每个等分为1°，而这种分法被我们沿用至今变为习惯，所以我们不去改变这种习惯。在这种习惯下，我们还可以将1°继续往下分，还想考虑十进制的优点的话，可以将1°分为10份，而这种分法我们现在是在用的，但其实更受我们青睐的分法是将1°等分为60份，每份标记为1′（角分），我们还将1′等分为60份，每份称为1″（角秒）。

将一周等分为360份不是特别困难，我们可以借鉴之前制作尺子时的方案，先做一个60°大小的角将360°等分为6份，再做一个10°大小的角把每个60°等分为6份，再做一个1°大小的角将每个10°等分为10份。

其实还可以通过其他方法等分，比如我们先画一个圆，然后每隔一段特定长度的圆弧画一个点，那么每两个相邻的点和圆心连接得到的角度就都是一样的了。在量角器中，你可以清晰地感受这样等分的原理。

等分到1°好像不是很困难，但现在为了提高精度，我们要问的问题是：如何在1°之内再进行等分呢？因为你看量角器内的1°夹的空间是非常小的，我们要在里面再等分为60份，即再塞进去59格是件多么困难的事情！

其实有一个非常简单粗暴的方法可以解决这个问题：我们把这个圆画大了不就好了！如图1-18所示，圆越大，相同角度对应的圆弧区域就越大，我们进行等分就越容易。

那么，我们就要分析一下做一个精度达到角分或角秒的量角器需要多大的半径：我手头的量角器半径为3厘米，而1°之间的间隔为0.5毫米。按照我们之前说的同比例放大原理（不光适用于三角形），应该需要60倍的3厘米，即1.8米半径的量角器，它的每角分之间的间隔才会是0.5毫米。同理，需要60倍的1.8米，即108米半径大的量角器，其每角秒之间的间隔才会是0.5毫米！

别说108米了，就是1.8米的量角器做出来其实都是十分不方便携带的！当然，原则上可以，不过到底有没有更好的办法呢？同样是等分的原理，我们有了角度的等分、圆的等分两种不同的方法，那还有没有其他的方法进行等分，使得在不扩大或者较小地扩大量角器半径的情况下，将精度达到角分甚至是角秒？

为了找出一个方法在1°内等分，我们不妨回到之前关于尺子的问题中。因为尺子是不存在扩大半径从而扩大每一小格大小的可能的，最小格1毫米多长就是多长。现在，我们考虑这样一个问题：如果我们要在这1毫米内等分10份，那么该怎么做呢？说不定解决了这个问题，我们就可以解决角度的问题了。

我们之前等分的方法都是通过类似于在某个格内再塞上几格这种方法，这种方法现在不可能适用了。所以我们要往其他方向想。有人还真就想出了一个非常巧妙的方法：

图1-18

图1-19

图1-19是两把不同的尺子并在一起的图像。上面一把尺子是我们平时用的尺子，即最小分度为1毫米的尺子，在这里我们叫它主尺。而下面一把尺子有点怪异，我们看到它的第十个刻度是和主尺的第九个刻度，即9毫米的地方重合的，由此可以看出它是一把被设计成一小格是0.9毫米的怪尺子，我们叫它游标尺。游标尺的第0个刻度（起始位置）和主尺的第0个刻度重合，这样的话根据游标尺0.9毫米间隔和主尺1毫米间隔可以推测：游标尺第1个刻度的位置比主尺第1个刻度位置偏左0.1毫米，游标尺第2个刻度的位置比主尺第2个刻度位置偏左0.2毫米，游标尺第3个刻度位置比主尺第3个刻度位置偏左0.3毫米，游标尺第4个刻度位置比主尺第4个刻度位置偏左0.4毫米……游标尺第9个刻度位置比主尺第9个刻度位置偏左0.9毫米，游标尺第10个刻度位置比主尺第10个刻度位置偏左1.0毫米长度。现在，如果游标尺往右移0.1毫米，游标尺第1个刻度就会和主尺第1个刻度重合；如果游标尺往右移0.2毫米，游标尺第2个刻度就会和主尺的第2个刻度重合；如果游标尺往右移0.3毫米，游标尺第3个刻度就会和主尺的第3个刻度重合……如果游标尺往右移0.9毫米，游标尺第9个刻度就会和主尺的第9个刻度重合。

用这种方法我们不就实现了等分了！我们现在可以根据游标尺上的哪个刻度和主尺重合来判断游标尺移动了多少距离了！并且这个距离的测量从原来的1毫米精度扩展到0.1毫米的精度了！接下来，我们总可以通过巧妙的方法让物体的长度等价于游标尺移动的距离，比如在主尺和游标尺上都固定一个“夹子”，这样，当物体被夹在中间的时候物体的长度就是夹子分开的程度，也就是游标尺相对主尺移动的长度。我们可以用这样的方法做出叫作游标卡尺的测量工具。

运用同样的原理，如果我们将游标尺的最小格之间的长度进行改变，我们还可以得到更高精度的游标卡尺，比如如果我们让游标尺每小格之间的长度为0.95毫米，那么游标尺第一格和主尺第一格就差了0.05毫米，我们的精度就达到0.05毫米。具体制作起来的时候我们要让游标尺的刻度格增加到20格，且这第20格和主尺19毫米的地方重合，这样一格就是19毫米/20=0.95毫米。以此类推，当我们将游标尺增加到50格，且让第50格和主尺49毫米的地方重合时，那么游标尺一格就是49毫米/50=0.98毫米，和1毫米只差了0.02毫米，精度就也达到了0.02毫米。不过如果再往下增加精度，我们就会发现一个问题，当游标尺格数越增越多后，游标尺每格的长度和主尺每格的长度就越来越接近，最终读数的时候我们会发现：咦，这一格好像对齐了，但是旁边一格也好像对齐了，到底哪个格对齐了呢？不大好判断。另外，我们本身在尺子上刻线的时候就无法做到刻得完全精确，或者夹住物体的时候用力不同都会导致得到的读数不同，所以目前其实我们很难制作出精度超过0.02毫米的游标卡尺。那有没有其他办法获得更高精度的测量仪器呢？你可以想象生活中拧螺丝的场景：你为了让螺丝前进那几毫米都要拧上好几圈。这其实表示着，类似于光斑位置对镜子转动的放大作用，拧螺丝的角度对于螺丝前进的长度也有一个放大作用，由此我们就可以通过测量螺丝转动的角度来更加精确地测量其前进的距离。用这样的原理，我们可以制作出精度为0.01毫米的螺旋测微器，当然，它的精度也不可能无限大。

现在回到角度的测量中。其实我们完全可以运用同样的原理来对角度进行更精细的等分了：我们可以制作一个60格的游标，让第60格和量角器上的第59°刻度重合，这样游标上每格的间距就是59°/60，即59′，和1°，即60′，差了1′。这样，我们的精度就达到了1′。我们当然还可以增大游标的格数从而获得精度更高的量角器，而且如果我们发现有的时候分不清游标和主刻度的哪些格重合，一方面我们可以引入螺旋，另一方面，我们可以通过增大量角器的半径解决。总之，达到角秒也是不存在问题的。

现在，我们既可以将量角器的半径增大，又拥有了游标和螺旋这两个有利的工具，我们测量角度的精度就非常高了！还有，如果我们更疯狂地想想，就会发现，半径在原则上可以做到无穷大，游标在原则上也可以分出非常多的格，螺纹也可以做得非常密集，那么，原则上测量角度的精度不就无限大了吗？而只要我们使用精度足够大的量角器，那我们以后不就再也不怕基线短导致的倍数误差了吗？那我们不就可以把基线取得非常短，测量不就很简单了嘛！

可惜没这么好的事情！当我们真正开始测量的时候，我们就会发现，我们的眼睛最大限度也只能区分出1′的差别！什么意思呢？我们在测量海平线和重力方向夹角的时候，是用一根小铁丝对准海平线，然后确定小铁丝和海平线重合的时候开始读角度。但是我们发现，在将近1′的范围内，好像我把小铁丝转动几个或几十角秒还是和海平线重合啊！所以说，虽然刻度盘上可以达到十分大的精度，但是我们真正测量时无法将角度定位在刻度盘上的准确位置，有一个1′左右的不确定区间。所以我们只需要做一个刻度盘上精度为1′的量角器就可以了。

§1-10 重新测量地球半径

现在，我们有了一个精度为1′的量角器，我们要用它来测量之前未测的角度。首先，我们测量了一下站在海岸边时对应的角1，为89°57′。看样子，之前感觉不到它和90°之间有什么区别，还是情有可原的。

我们可以先试一试用这个角度得到的倍数是多少。用和之前同样的方法，我们拿一个1厘米长的短棒，在短棒两端各系上一根十分长的绳子。将绳子拉直，然后用量角器确定绳子延伸的方向分别和短棒的夹角为90°和89°57′，直到两条绳子相交。我们发现这绳子估计得延伸到10多米外才可以相交，也就是说倍数在1000倍左右，而如果我们在89°57′附近动上1′，我们前后最大又有将近10米的差别，平均也有500倍的误差。总共就1000多倍，还误差500倍，这样的精度我们是完全无法接受的！

现在，我们爬到原来的1000米左右高的山上测量，这时测到得角度是88°59′。那真实值有可能在88°58′到89°0′之间。我们先来看看在这样的角度范围内得到的倍数会有多大的不同。同样用之前的短棒和绳子来测量，我们发现当我们将角1在88°58′和89°0′之间大致变化时，得到的倍数会在55.44～57.29倍之间变化，前后相差不到2倍，还不错。再考虑我们实际测量到的88°59′的情形，得到的是56.35倍，那也就意味着，如果我们多测了1′，误差就是56.35倍-55.44倍=0.91倍；如果我们少测了1′，误差就是57.29倍-56.35倍=0.94倍。所以总体来说可能的误差还不到1倍，相对50多倍而言，只有2%左右。

现在，测一下基线长s就可以了。由于我们站得很高看得很远，所以其实s不是很好测，但是原则上根据同样的三角测量方案还是可以测量到的。我们测量到的长度为113.05千米（当然这也有误差，不过我们就不考虑了），这样地球的半径就是113.05千米的55.44倍到57.29倍之间，即6267千米到6477千米之间，而按照最初测量到的56.35倍计算，就是6370千米，与6267千米差了103千米，与6477千米差了107千米。所以我们现在可以说，我们测量到的地球半径为6370千米，前后误差最多为100多千米。

§1-11 原来只是曲率半径

可以看到，这个我们假设的地球的半径大得惊人！我们去森林看那些崎岖的地势，那些坑坑洼洼落差才几米啊，树的高度最多也就几十米吧，相比6370千米简直不值一提！我们还可以测量一些高峰的高度，作为对比，我们已知的最高峰——珠穆朗玛峰的海拔为8844米=8.844千米，相比6370千米如此巨大的数目来说，仍然不值一提！我们现在也知道，我们之前在球上画的人按比例都不知道被画成了几个珠穆朗玛峰的高度了！

所以现在我们有了总的猜测：我们脚下的这片大地实际上是一个大球，其半径为6370千米左右，而我们就站在这个球的表面，且我们所受重力方向垂直球面指向球心。所有的高山大树等地势的不规则对于整体的球形影响不大，因此，我们可以放心地称脚下的大地为地球了。

正当我们为这伟大的发现而洋洋自得的时候，突然一个可怕的想法给了我们当头一棒：我们怎么可能只在脚下这一小块区域看看瞧瞧测测，就能获知包括所有地区的地球的信息呢？！因为你可以想象，假如现在有两个人，一个生活在球上，而另一个生活在半球的球面上，那么除非他们走到球的另一边看看是什么样，否则，谁都不知道自己生活的地方到底是球还是半球啊！而不光只有球和半球两种可能，或许脚下的大地是个“甜甜圈”、椭球，更甚者可能是只有一小片地区呈现球面，而其他地区呈现不规则形状的鬼东西！

既然脚下的地面不一定真的是个球，那么我们测到的这个6370千米到底代表的是什么呢？我们不妨通过一些思想实验来思考：现在有很多个大小不一样且形状非常接近球状的西瓜，我们把这些西瓜都切成片，然后混在一起拼成一个畸形的西瓜。假如有个小人生活在这个畸形西瓜的一小片西瓜上，那么当他根据这一小片西瓜测量到一个半径值时，这个半径值并不代表脚下这个畸形西瓜的大小，而是代表脚下这一小片西瓜原属的那个球状西瓜的大小。但是有个问题：这一小片西瓜原属的西瓜已经不存在了，这个半径值还有什么意义呢？

其实它还可以代表着这一小片西瓜的弯曲程度啊！如果你抚摸过不同大小的西瓜就会发现，越大的西瓜，它表面的弯曲程度越小；越小的西瓜，它表面的弯曲程度就越大。也就是说，半径值其实是和西瓜表面的弯曲程度成对应关系且成负相关的，而即使这个西瓜被切成片了，每一小片西瓜其实都还包含着它的弯曲程度的信息。从这个思想实验再联系到地球半径的问题，答案就很明确了：6370千米一方面表示我们脚下这一小块地面区域是一个半径为6370千米的假想球的一小块表面，另一方面表达出了我们脚下这块地区的弯曲程度。我们现在可以叫6370千米为脚下这块地面的曲率半径，从而和一个确定存在的球半径区分开来。

那现在有个问题就是，其他地区是什么样的呢？除非我们通过直接或间接的方式获取其他地区的信息，否则所有的猜想都是平等的。或许其他地区也是球面，且其弯曲程度与我们所处的地区相同，那么它们可以构成一个比较完美的球。而如果其他地区的弯曲程度与我们的不同，那么脚下的球就有一些不规则。甚至其他地区可能不是一个曲面而是个平面，又或者是下凹的……我们可以有无数种猜测。

你可能会说：“不如我们到其他地方探索一下，看看其他地方的情况是怎样的。”但是我们在出发前就发现了一个十分严峻的问题，除非我们将脚下的大地全部走个遍，也除非我们将每个地点的曲率半径都测个遍，否则我们永远无法百分之百确定脚下的大地究竟是怎样的形状！但是我们几乎不可能走遍每一个地方，更别说每到一个地方还要测量一次曲率半径了！

§1-12 不确定性

这就让人很困扰了。我们很想知道脚下的大地到底什么样，但是我们又无法确定。更让人觉得尴尬的是，我们之前还自认为自己知道了脚下的大地就是个球体，最后却遭到那不严密的逻辑当头一棒！

不对，等等，我们之前会不会犯了更多类似的错误呢？比如在推测脚下这片区域的几何构型，或者在测量地面曲率半径的时候？如果是这样，别说一整个地球了，就是关于脚下这一小块区域的成果都难保！

我们想想整个推测过程中都用到了哪些原理，检查一下这些原理有没有什么问题。首先是视线的原理：如果有三个点排列成一条直线，那么我们总可以找到一个合适的位置观察到这三个点在我的视野里是重合的。反过来，如果我们总可以找到一个合适的位置观察到某三个点在我的视野里是重合的，那么这三个点在一条直线上。

我们在推测平原究竟是平面或者上凸还是下凹的时候、检验重力方向是否平行的时候、测量曲率半径的时候都用过这个原理。但这个原理从哪里来的？会不会有问题？

其实，这个原理只是来源于我们平时的生活经验，比如我们观察到，排队的时候，当队伍排得很整齐的时候，我们在后面总可以看到前面的人头顶在我的视野里总是重合的，这说明头顶在一条直线的情况下我们会看到其重合；或者在射击瞄准的时候，让目标和枪上的两个孔在视野里重合的时候再开枪总是更容易打中，说明枪的指向和目标在一条直线上。但是仔细想想，这样的生活经验总是来源于短距离的情形啊，而我们在测量曲率半径的时候可是要将这个原理应用到100多千米外的海平线上！那这个原理在这么长距离的情况下还可以成立吗？

除了这个视线原理的不严谨，我们其实还可以找到更多问题。在测量曲率半径的时候，我们用到了这样一个原理：形状相同的三角形，其对应边的比例相同。但是这样的结论也仅仅来源于我们测量一次楼顶高度时的分析，谁知道在其他情况下这个结论还能不能成立，谁又知道当三角形大到几百几千千米的时候能不能成立？

有人可能会对此嗤之以鼻，觉得我在杞人忧天，但你还记得重力的情况吗？我们总是认为重力方向是处处平行的，但后来却发现这仅仅是在短距离情况下才成立的。当然，你可能会说你一开始就没那么认为，那我不得不搬出爱因斯坦的相对论了。我们在生活中很容易建立起这样的观念：不管我们在哪里，不管怎么运动，时间的流逝速度都是相同的。但等到我们学到有关相对论的一卷时你就会知道，当我们的运动速度接近光速的时候，时间流逝会变慢。具体什么意思呢？朗之万给出这样一个直观的例子：如果把一个旅行家装在一个与光速相差两万分之一的高速飞行的炮弹飞船里，由地球出发到宇宙中去旅行，一年后再以同样的速度返回地球。这样两年以后，当走下炮弹飞船时，旅行家就会发现地球上已经过去了200年。如果在他出发前有一个不满周岁的儿子，当他返回地球时，他的儿子早已去世了，欢迎他的将是与他从不相识的曾孙了。

很多人一听到这样的说法的第一感受就是：不可能。但是我们仔细分析一下，这真的不可能吗？我们生活在低速的世界里，从来没有人以接近光速运行过，那就意味着在低速世界里得到的所有关于世界的认识，包括对时间的认识，都可能在高速运动下失效。所以无论爱因斯坦的理论看起来有多令人难以置信，我们要意识到的一点是——他的说法并不是不可能的。

另外一个极好的例子是量子力学。在生活中我们会建立起这样一个观念：一个物体，它在哪里是确定的，它这时候不可能还同时出现在其他地方。但是对微观粒子而言，在量子力学的描述中有时候是没有确定的位置的，我们只能给出粒子在不同地点的概率。比如，我们会说这个粒子有20%的概率处于这一块区域，有30%的概率出现在那块区域，又有50%的概率出现在剩下的区域……当然，这些是今后的量子力学一卷中的内容，但现在我们要在思维上有所意识的是：量子力学研究的是微观世界的物理规律，而我们生活在宏观世界，所以不论量子力学给出的规律和我们的生活经验有多大不同，它都有可能是正确的。

§1-13 对地球模型的检验

讲到这里，我们就觉得很麻烦了，我们发现用于推测脚下这一小块区域地面的原理都存在相当大的不确定性，那我们怎么还能相信脚下这块区域是曲率半径为6370千米球面区域的结论呢？更别说我们还想把这一小块区域的情形推广到所有区域从而构成地球了！

对此，有人可能就会提议说：“我不管这些结论是如何得到的，我只管检验，如果这个曲面的构型是正确的，那么它给出的推论按理都应该是对的；如果这个构型是错的，那它应该会给出错误的推论。进一步说，我们也不管是否每一块区域都是和我们脚下站的这块区域相同，我只管根据地球这个假设来推测现象，看是否和实际吻合。” 我们不妨听他的建议，直接以地球的模型来进行这样的检验。1.如果脚下的地面真是个球，那么我们在地面上的任何一个地点，只要站得够高，按理都能看到地平线或海平线。而我们的确发现不管我们走到哪里，都是可以看到地平线或者海平线的。

2. 根据地球的模型可以推测：站得越高看得越远。

这点其实我们在测量地球半径的时候就想过了，而图1-20更明显地显示出，对于所处高度不同A、B的两点，看到的A′、B′两点的距离是不一样的。在检验方面，其实我们生活中经常可以观察到这样的现象，不过不妨举一个特殊的例子：我们可以在平原上放一盏灯，然后走到灯忽然消失的地方踮起脚尖，或者站到一个椅子上再看，这时候，我们又可以看到灯了，这就说明站得高看得远。

3. 举一个特殊的推测：

如图1-21所示，根据地球以及重力方向垂直于海面的假设，如果在海平线外有一艘帆船向我们行驶过来，那么我们应该是先看到帆出现在海平线上，而后才能看到船身。同理，如果我们在海岸上看见一艘帆船驶向海平线，那么应该是船身会先消失在海平线下，然后船帆才消失。

根据这个推测，我们到海边做实地观察，发现观测结果和我们推测的是一样的。

图1-20

图1-21

4. 上面的推测都是定性的，实际上我们可以根据6370千米这个半径值给出一些定量推测。比如我们可以推测出，在海拔为8.844千米的珠穆朗玛峰上，可见地平线或海平线离我们所站立位置的距离是336千米。具体的推测过程可以通过以下的作图获得：

如图1-22所示，假如我们把地球画成半径为63.70厘米的大圆，那么珠穆朗玛峰的高度就是0.8844厘米。我们可以在圆上尽量准确地画出这个高度，然后在这一高度画圆的切线，并且量一量这条切线有多长。我们最后量出这条切线的长为3.36厘米，那就意味着在珠穆朗玛峰上可以看到的最远距离达到336千米。另外，我们还可以测量出从珠穆朗玛峰山脚走到所看到的最远地方的路程是多少：我们只要拿出一条细绳，将它的一端放置在图中所对应的山脚位置，然后沿着圆放置，直到另一端和所看到的最远地方对齐，然后量出这段绳子的长度就好了。我们惊讶地发现，绳长几乎也是3.36厘米！同时意味着路程也是336千米！可以想象，实际上两者并非真的相等，而只是因为它们太接近了，我们很难测量出其区别。

不过，到了检验这块就很麻烦了：一方面，我们要爬到珠穆朗玛峰上；另一方面，我们还要测量336千米这么长的距离。你肯定奇怪，明知道站得越高看得越远，且越长的距离越难测量，我们为什么还要拿世界最高峰来进行理论推测？

这是因为越矮的地方，作图越困难！即使是世界最高峰，在同比例绘图中只有0.8844厘米，这已经很难画准确了，更别说其他地方了。为了让你有更直观的印象，让我们考虑这样一个问题：一个人站在海岸边看着海平线时，海平线离他有多远呢？假设这个人身高是1.7米，那以之前的比例绘图，这个人画到图上就变成了0.000017厘米。这根本就画不出来！

不过，你可能会说：“原则上是可以做得到的。我把地球画得大点，比如将它的半径画成6 370 000厘米=63 700米=63.70千米，那么人的高度就等比例变为1.7厘米，就可以画出来了啊！”

但是要画一个半径是63.70千米的圆该有多难啊！

这个问题显然很难通过作图解决，不过等你学到有关几何或代数一卷时，你只要使用一个非常简单的勾股定理就可以算出这个距离是4.65千米，而4.65千米也将会受到检验的通过。虽然我们现在还不懂数学，但你要记住一点：原则上可以做到但实际上做起来麻烦的事情，我们总可以找到一个更加巧妙的方法完成。而我们在解决问题之前，往往先研究原则上不考虑技术难度能否解决，然后再根据这个复杂技术的原理去寻找简单的技术。

图1-22

§1-14 不确定性的放大

现在的情况是，这4个推论都没有发现有问题，那是不是说我们的地球模型就是正确的呢？不是！4个推论给出的都是关于全球的推论，而我们其实只是在一两个地方进行检验，谁知道在其他地方会不会成立？另外这里还仅仅是举了4个推论，其实这个地球模型从原则上还可以有无数种推论，谁知道会不会存在某些错误的推论啊！

我们好像又陷入困境了！我们根本不可能穷尽这无数种推论，也根本无法将这无数种推论检验完，那我们就不可能证明这样的地球模型了！

另外，其实除了检验推论的问题，我们还发现了其他问题——我们在用这个模型给出推论的时候仍然使用了视线、三角形比例相等的原理，那有人可能会质疑说，你都不确定这些原理是不是正确的，你怎么可以用来做推论呢？

事实上，这些原理已经被容纳进地球模型成为一个给出推论的体系了！

为此，我们考虑这样一个有意思的“金鱼科学家”。假如有一只金鱼，它从记事开始就被养在碗状的玻璃鱼缸内，从来没有出来过。由于玻璃面是弯曲的，因此，它看到的外面世界都是扭曲的。但这不影响它成为科学家啊！它仍然可以构建模型描述它所观察到的现象，而反倒是运用扭曲的原理可以给出正确的观测结果，因为它观察的世界本就是扭曲过的啊！这和我们现在的科学家做的事情有什么区别呢？谁知道我们的世界有没有受到过什么扭曲啊！

所以我想说的是，虽然我们无法证明地球这个模型，也无法证明上述用于给出推论的原理，但是我们可以将它们作为一个整体给出很多符合观察结果的推论，可以帮助我们理解和预测这个世界，难道这样的意义还不够大吗？为什么一定追求什么都要被证明，什么都要严密呢？其实这个世界很少有什么是可以被严格证明的！

你不信？我可以给你举些例子，比如关于存在的问题：当你离开一个物体的时候，它还存在吗？

当你坐在书桌前的时候，你可能会说：“我能看到书桌，还能摸到它，所以它是真切存在的。”但是当你走开之后，你还可这样说吗？在逻辑上你不能，因为即使这时候它消失了你也不知道。你可能会说：“当我回到桌子旁边的时候桌子还在啊！”那我可以反驳说：“它可能就是只消失了一小段时间，等你回来了它又出现了啊！”你看，你认为桌子始终存在的想法在逻辑上是无法证实的。说得更直接一点，对于桌子有这两种理论：1）桌子始终是存在的；2）有人时，桌子总是存在的，但当人走开后，它会消失了。这两种理论都适用于观察结果，所以我们无法判定二者的对错。

对此，你可能不服，想举一个你觉得必定没错的命题：我就在我生活的这块区域，我哪里也不去。在我的这块地盘，我声称：无论何时，当我拿起一颗石子并放手时，石子总是会往下掉。

这样的陈述该没有问题了吧？我又不跑到其他地方，在自家的地方还是很确定的吧？

其实还是不确定的！这次不是空间上的不确定，而是时间上的不确定。我们其实并不知道自然界的规律究竟会不会随着时间而变化。当然，从出生到现在，我们没有发现自然规律有变化，但这不意味着它永远也不会变化！或许明天重力消失了，或许明天光的反射定律就不成立了……更有甚者，说不定自然规律正在悄然发生变化，比如重力大小正在缓缓逐年下降，只是我们的测量精度太低无法观测到……人类可以根据自然规律制作各种神奇工具，但无法控制规律，也自然无法令其固定不变。

不过这时候仍然会有人会叫嚣道：“我知道有些东西一定是确定的，比如我说‘我是个男人’，这你总无法反驳吧？”对，这样的说法是完全不会出现任何问题的，因为你自己定义了什么是男人，然后你符合定义，这样你说你是个男人是无论如何都不会有错的。但是你通过重复这一定义得到的命题给我们新增了什么认识吗？发现了更多的自然规律吗？没有！什么新的认识都没有产生！那要这样的确定性又有何用！

§1-15 如何看待这样的不确定性

实际上，我们意识到，人脑中存在对于世界认识的一套模型。比如说桌子的存在问题，当我们在长期的生活中发现桌子都不会凭空消失的时候，我们就会在脑中建立起一个关于桌子的模型：无论何时，桌子都不会消失。在我们的脑中，桌子就是那么确定地存在着，但是在真实的自然界中，我们并不确定桌子会不会一直存在。但是，管它呢！不确定就不确定，为什么一定要确定呢？起码从小到大我都没发现桌子凭空消失过，起码我现在每次回家都推测桌子没有凭空消失，从而不用在路上再买一张桌子回去！所以虽然脑中的模型不能被证实，但目前也没被证伪啊！

地面是弯曲的模型也是这样，虽然我不能百分之百确定地面是弯曲的，但是我可以根据我脑中这个弯曲的模型来推测眺望海面的时候总是会看到海平线，还能推测从远方行驶过来的船总是先露出桅杆，还能推测站得高就看得远……而到目前为止，这些推论都是正确的。

当然，虽然前面两个模型到现在都没问题，但其实之前有个模型被我们否认了。我们之前在脑中存在一个关于重力的模型，认为重力的方向总是平行的，并且在生活中从来没有发现问题，直到我们发现当距离远了以后重力方向开始发生了变化。但是，也没有什么大不了啊，我改了不就好了！

所以现在我们有了一个逃出不确定性困境的方法。我们区分出两个世界：一个世界是真实的自然界，一个世界是在脑中描绘的对于自然界的模型（这里的“模型”一词也应包含原理，比如之前的视线原理，它们作为整体成为一个可以给出推论的体系）。在这个真实的自然界中充满了不确定性，而在脑中的模型则是完全确定的。当我们根据脑中的模型给出对于自然界的推测时，如果实际观察结果和推测结果相一致，那就说明这个模型还没有出现问题。但只要这个模型中给出的一项推测和自然界不相符，就说明这个模型是存在问题的，我们就要在脑中适当地修改模型得到新的模型，使得这个新模型给出的新推论是符合自然界的。我们要通过不断的探索修改模型，并寄希望于新的模型会越来越接近自然界的真实面貌。

不过由此引发的一个问题是：难道这个世界就没有真理了？可以想象，就地球模型而言，假如我们有宇宙飞船这样的东西可以飞到足够高的地方直接看看脚下的大地，或许我们就可以直接检验地球模型，从而获得“真理”。由此，我们也可以选择相信这个世界是存在真理的，只是因为人类感官和技术手段有局限性，我们才无法直接确定一些事情。但是我们也相信，我们可以通过间接观测并构建模型一步步了解真实世界的样子。

知道了如何应对这些不确定性后，我们对于脚下的大地就可以大胆地建立一个初步模型了。球体、半球体、椭球体甚至“甜甜圈体”都是适用的，而既然它们都可以用，那么我们当然选择最简单的一个了，因为最简单的往往最好用。这里最简单的模型显然是球体，于是，我们就在脑中有了这样一个模型：脚下的大地是半径为6370千米的球体，且重力方向处处指向球心。如果我们以后发现这样的模型有问题，我们就会及时修改。

我们仍然把这模型中的可爱大地称为地球。

§1-16 补充内容

我在写这本书的时候，非常注意探索的主线，我希望在这样的主线下，整个探索过程可以形成一个连贯的侦探故事。但我发现有一些很重要或者很有意思的内容很难加入主线，或者加入主线后会影响连贯性和具体性。所以我将这些内容放在每一章的末尾。你很快会发现，这些内容并不是不重要，而仅仅是偏离了主线，而且第二、五章的补充内容会加入第六章的主线。

§ 1-16-1 模型与魔术

每个人在脑中都存在一个对于这个世界的模型，大多数情况下，我们根据脑中模型对于现实世界的预测都是准确的，除非我们遇到魔术师。

我曾经看到过这样一个魔术：一个魔术师拿出一个手机和一个塑料瓶，然后他直接将手机塞进了塑料瓶，仿佛手机有“穿瓶之术”。后来我才知道，原来魔术师在塑料瓶上划了一个很长但并不显眼的口，而手机正是从这个口塞进去的。

这个魔术的窍门极其简单，可为什么我在看魔术的时候没想到？我当时甚至固执地认为这是无论如何不可能做到的！

答案其实很明显：由于我所接触到的塑料瓶大都是完整的，因此，渐渐地我在脑中就建立了“完整塑料瓶”的模型。当魔术师拿出一个塑料瓶的时候，我会不假思索地认为这是一个完整的塑料瓶。所以，当我看到手机穿过塑料瓶的时候，我的大脑就会认为手机是穿过一个完整的塑料瓶，那么我自然会感到不可思议了！而实际上，对于不同的塑料瓶，划过口还是没被划过口，或者是什么被特殊处理过的塑料瓶，大脑都很难通过第一眼识别出来，所以魔术师只要找到一个看起来和平时一样，但是可以让手机进入内部的特殊塑料瓶，就可以营造出不可思议的感觉。

所有的魔术都建立在这样的原理上，魔术师给观众展示一个表象，而在这个表象背后的可能模型是有无数种的，由于脑中的惯性，观众会选择一种他认为的模型，而被观众选中的模型往往是违背自然规律的。

在理解这个原理的情况下，我们可以获得破解魔术的思维方法。当我们看到魔术师展现给我们某些表象的时候，我们可以思考有哪些模型可以给出这些表象，只要找到一个符合自然规律的模型，这个魔术就被破解了。如果我们发现魔术表象背后有很多个符合自然规律的模型，就意味着同样一个魔术可以有很多种破解或者实现的方案。

§ 1-16-2 一些哲学问题

哲学上有一部分问题可以归纳为之前说的模型多样性导致的不确定性问题。我举哲学上最重要的一个问题，即物质和意识的问题为例，因为这牵扯到唯心主义和唯物主义这哲学上两大阵营的区分。

我现在坐在图书馆的椅子上，面对着笔记本电脑打字。我可以感受到我的手指在敲击着键盘，同时我可以听到键盘受到敲击的声音，我也看到一个又一个字显示在电脑屏幕上。当我感到渴了，我会拿起旁边的水杯喝了一口早就泡好的茶，它无论是闻起来还是尝起来都很不错。我可以用我的五种感官感受周围的事物，它们都是那么真切，以至于我很愿意相信它们都是真实存在的物质。

但是，对于我看到的这个世界，我往往可以想象更多不同的模型来解释。比如下面这种：或许我的身体是不存在的，存在的仅仅是我的大脑，它被一个邪恶的科学家放在了一个装有培养基的水缸中，这个科学家正在向我的脑中输入各种感官的信号，比如电脑屏幕的视觉信号，手指敲击键盘的听觉和触觉信号，茶的味觉和嗅觉信号等，从而让我的大脑感受到我现在所感受到的事物。而在这样的假设下，这些事物根本不存在啊！存在的仅仅是我的感觉而已啊！更有甚者，我还可以更大胆地假设，可能连那个大脑和邪恶的科学家都不存在，这个世界上其实什么都不存在，存在的只有我的感觉！

你听了这样的想法肯定会觉得荒谬，这仅仅是因为你脑中存在惯性思维而已。为了让问题更直观，你可以想象你在做梦时看到的世界。大多数情况下，梦中的自己并不知道自己在做梦，但是，少数情况下你会有这样的经历：你知道自己处于梦境中，然后你非常好奇地打量着梦中的世界，你会觉得这样的世界实在太真实了，以至于你总想在这逼真而并非真实的世界中做些在真实世界中不敢做或者做不到的事情过把瘾。其实不光是梦境可以说明这个问题，随着这些年虚拟现实技术的发展，游戏变得越来越真实，可能在不久的将来，我们发明的游戏将真实到人类无法将其与现实世界区分开来。

对于这个从人类会思考以来就一直在争论的存在问题，很多人提出各种论点来支持他们所认为的答案。但是很明显的是，这几乎是个无解的问题，因为无论你观测到什么现象，你都可以从现象本身是存在的以及观测结果仅仅是虚幻的感觉两个模型出发解释。不过，无解的问题也不意味着不可研究，我们可以借鉴科学研究的思维，对唯心主义和唯物主义进行一些可能性上的思考：我们分别假定其中一个模型是正确的，然后给出一些推论，再对比两个模型给出的推论，看哪个比较可信。从这个角度来看，唯心主义给出的世界可以是任意奇怪的世界，而唯物主义不倾于给出这样的推论，因此唯物主义可能略占上风。另外，从模型的简单性来说，唯物主义也是略占上风，因为唯物主义不需要引入额外的假设，它直接承认周围事物的存在，而唯心主义由于很难解释感觉的来源，需要引入额外的假设（比如邪恶的科学家），从而让模型显得更繁杂。

对于唯心主义和唯物主义的判定，其实是个哲学问题而不是科学问题，因为它不是研究这个世界的现象或者规律，而是研究这个世界背后的本质。背后的本质固然吸引人，但它往往是不可能完全确定的。我觉得只有人类先搞懂我们感受到的世界是什么样的，才有可能对背后的本质有一点点思考的资本。

前面讲的是模型多样性导致的不确定性问题，哲学上还有一部分问题可以归结为归纳原理的不确定性问题。我举一个休谟的因果关系的问题。

你看到一个白球朝着黑球运动过去，白球和黑球稍有触碰，黑球运动了。你可以说白球是黑球运动的原因。不过休谟说，你看到的仅仅是白球动了，然后黑球也动了的先后发生的事情，并不代表白球是黑球运动的原因。

其实无论是你说的话还是休谟说的话，意义都不是很明确。什么叫白球是黑球运动的原因呢？能否换个意义明确的、可操作的说法？你想了想，可能会说：“任何一次白球碰到黑球，黑球都会动。”那么休谟的意思就是，可能存在一次例外，当白球碰到黑球后，黑球并不会动。

你肯定会觉得休谟的说法很荒谬了。为此我可以举下面这个经典的故事来说明休谟的意思：

有一个农夫养了一只小鸡。农夫对小鸡的喂食非常规律，总是在每天的中午对小鸡进行喂食。在开始的几天，小鸡还没有察觉出这样的规律，但是随着天数一天天的增加，小鸡很快意识到农夫总是在中午喂食，并且天数越增长，小鸡对农夫会在中午给它喂食的信仰越坚定。这一天，到了第150天的中午，小鸡非常确定农夫马上就要来给它喂食了，而它也的确看到了农夫的到来，但是农夫这次手里拿着的不是粮食，而是一把剪刀……

黑白球和小鸡的例子看似相差甚远，但本质上是一样的。我们每次看到白球碰到黑球，黑球就会动，所以我们惯性地认为下一次也会发生同样的事情；小鸡每天中午12点都会看到农夫来给它喂食，所以它惯性地认为第150天也会发生同样的事情。唯一的区别在于，我们看到球之间（或物之间）碰撞的次数要远远大于农夫给小鸡喂食的149次。

其实可以看到，对于这个“归纳原理的不确定性问题”，原则上可以囊括入“模型多样性导致的不确定性问题”。这是因为，对于一个规律发生的现象，我们可以给出两种模型，一种是这个现象会一直规律地发生下去，另一种是这个现象只会规律地发生一段时间，之后便不复如此。两种模型都可以解释前期观测到的现象，却会对后期观测到的现象给出不同的推论。

§ 1-16-3 科学研究的本质

如果我们将整个世界比作上帝下棋的棋盘，那么由于我们只被上帝赋予粗浅的五种感官和薄弱的行动能力，就相当于只能在这个棋盘的一小角从一小个角度看着上帝下棋。初到这个棋盘，我们不知道上帝下棋的规律，我们甚至不知道上帝下棋有没有规律。

现在，我们想象可能存在很多个世界，不同的世界可能有不同的上帝，而我们仅仅处于其中一个世界观看一组上帝下棋。为了感受不同的世界可能会有哪些不同的下棋规律，我们可以想象这样几个世界：

在第一个世界中，这个世界的人将一个小球从正面撞向另一个球，他们发现被撞的球总是朝着撞击方向运动，他们一直这样尝试，发现结果总是一样的，于是他们掌握了上帝下棋的一小个规律，即一个球受到正面撞击就会朝撞击的方向运动。那他们就想：这个世界的上帝下棋大概有一个固定的规律。

在第二个世界中，这个世界的人非常苦恼，因为他们发现，当他们将一个球从正面撞向另一个球的时候，受撞的球有时候会朝撞击方向运动，有时候又会偏了点朝另外一个方向运动，有时候甚至不动。但是当他们做了大量完全一样的实验，并统计了被撞球的运动方向时发现了规律：球朝被撞方向运动的结果占三分之一，朝其他方向运动的结果占三分之一，不动的占三分之一。那他们就想：这个世界的上帝下棋也有规律，只是规律在有规律地快速变化着。

在第三个世界中，这个世界的人更加苦恼，他们发现，球被撞后朝什么方向运动根本不确定，即使是统计大量实验结果也看不出任何规律。那他们就想：这个世界的上帝下棋大概不讲规律。

科学在第一个和第二个世界中是存在的，但是在第三个世界中是不存在的。而非常幸运的是，我们生活在第一或者第二个世界中。不过即使如此，有时候，我们仍然很难分辨出我们究竟处于这三个世界中的哪一个。比如，处于第二个世界的人可能还发现，被撞击的球朝哪个方向运动其实不光取决于撞向它的球的运动方向，还取决于球的撞击力度，而正是因为他们忽略了对球的撞击力度的精确掌控，才出现了不同的实验结果。这就意味着这个世界里上帝下棋的规律是不变的，他们其实处于第一个世界中。再考虑第三个世界，这个世界中的人也可能发现，球的运动结果其实是由几条不同但是恒定的规律混合支配的，只不过他们没分辨出来，以至于球的运动看起来是没有规律而已。

不管怎样，可以确定的是，我们世界的上帝下棋是讲规律的，否则科学是不存在的。科学的目标就是去发现这些规律，而且终极目标是找到上帝下棋的那几条最基本的规律（比如象棋中的马走日、象走田等），从这几个最基本的规律出发，无论是更加次要的规律还是看似没有规律的规律都可以得到解释。而这里要明确知道的是，自然规律是不受人类控制的，它被掌控在上帝手里并展现在自然界中，也就意味着下面这几点：

1. 没有什么规律是天经地义的，它们之所以看起来是那样可信，是因为我们就生活在这样一个世界中。这就意味着，假如有一天一个小孩出生在一个自然规律完全不同的世界里（比如在这个世界里球被撞后完全不会动），当这个小孩长大后，他会觉得这样的规律是天经地义的，以至于当他来到我们的世界后会对我们所习以为常的规律感到不可思议。

^[2]. 自然规律是表现在自然界的，也就意味着我们必须通过观察这个自然界才可以获得这些规律，而无法通过纯粹的思辨来获得这些规律。当然，无法否认的有两点。一点是人脑本就是自然界的产物，并且每天都在自然界中接受信息，所以它可以通过思辨获得自然规律也不是不可能。但是当我们的研究对象超过了日常生活能感受到的范围时（小到原子，大到宇宙），纯粹的思辨就不一定可信了。另外一点是，我们在前面的探索中已经发现，只要利用一部分对于自然界的观测，我们就可以猜测这个世界是什么样的，并且有时候猜得也挺好。但是，猜不猜得好仍然要通过对自然界的观测来判断。所以说，所有科学研究的出发点都要在实实在在的观测上，你不该从你心里能不能接受出发去探索这些规律，而应该从自然界本身呈现出什么样出发去探索。

3. 当我们看到一个现象后，不应该先问为什么有这个现象，而应该先探索这个现象发生的具体规律。举个例子来说：当看到一个苹果落地时，我们不应该先问这个苹果为什么会落地，而应该先探究这个苹果下落的规律，比如苹果的下落路程和下落时间有何关系、不同重量或体积的苹果下落规律有何不同、地球上不同地点的苹果下落规律又有何不同等。当我们获得这个规律后，出于好奇，我们自然会问为什么有这个规律，但是我们要明确的是，我们在问为什么的时候，实际上在寻找一个更基本的规律，而不是在问上帝为什么要制定这样的规律。这就是说，当我们在问苹果为什么会下落的时候，其实，我们是在问：“有没有什么更基本的规律导致了苹果下落的规律？”牛顿说，万有引力定律可以推出苹果下落的规律，它也可以推出任何其他物体的下落规律，甚至可以描述天体的运动，比苹果下落的规律适用范围更广。这时候，一些寻找所谓“终极原因”的人又有人问：“为什么会有万有引力定律呢？”牛顿说：“我不知道，我只是把规律是什么样告诉你们而已。”（爱因斯坦后来又给出了一个更基本的规律，即广义相对论）在牛顿的教导下，人们意识到，科学在研究是什么，而不是为什么。自然规律是上帝制定的，你只能探索这个规律的样子，又或者探索更基本的规律，但是不能问为什么有这个规律，因为上帝不会告诉你他为什么要这样制定规律^[3]。所以当我们出于好奇心问“为什么”时，我们要知道我们本质上问的是什么。

最后，上帝可以对自然规律任意摆布，这也就是为什么我们之前说到过的模型或者归纳法不可能得到完全确定的本质原因。当然，我这里说的“上帝”是自然规律产生原因的代名词，而不是宗教意义上的上帝。

【注释】

[1]
这里的法线指的是垂直于镜子表面的直线。之所以考虑光线和法线的夹角而不是和镜子表面的夹角，是因为法线是确定的，而镜子表面有无数条直线，而且不同的直线和光线的夹角不一定相同。

[2]这话也不能说得太绝对，说不定某天我们真的“窥见”了上帝的面貌呢？但是就科学研究的前期而已，我们得先搞懂是什么。

[3]这话也不能说得太绝对，说不定某天我们真的“窥见”了上帝的面貌呢？但是就科学研究的前期而已，我们得先搞懂是什么。