船体运动方程的一般描述

船舶在波浪上的运动是以刚体在无限介质中的运动为基础的，它可看作是刚体一般运动理论的推广。

刚体的运动取决于质心的运动和绕质心的转动。应用质心运动定理和绕质心的动量矩定理，可得

式中，G是刚体的动量，Q是绕质心的动量矩，F和M分别为外力矢量和绕质心的外力矩矢量。上式在惯性坐标系内成立。

选择一个动坐标系，与物体固结，此坐标系以oxyz表示之，原点选在质心处。若刚体的质量为M，质心的运动速度为v 0，绕过质心的某瞬时轴转动的角速度为ω，则

式中，是相对惯性坐标系的时间导数，是相对于动坐标系的时间导数，两者的关系是

以动坐标系的分量表示时，式（7.1）中的质心运动定理可写成

式中，εijk为交变张量符号（详见本书第2章）。

绕质心的动量矩

这里r为刚体中某点至质心的矢径，即r=x 1e 1+x 2e 2+x 3e 3；e i（i=1，2，3）为动坐标轴的单位矢量。上式也可记作

引入惯性矩记号：

及

则式（7.4）变为

Q作为一个矢量，按照式（7.2）所示的规则，应有

由于各惯性矩I ij都是在动坐标系内计算的，故对给定的刚体，它们不随时间变化。将式（7.5）和（7.6）代入式（7.1）中的动量矩定理，可得(www.xing528.com)

方程（7.3）和（7.7）构成了在动坐标系中一般刚体运动方程的表示。

如前所述，讨论船体运动时常取动坐标系原点在船体静止时位于静水面上，一般而言，它不会与船舶重心恰好重合。此处，暂且假定两者是重合的，把由于两者实际位置上的差别而引起的对运动方程的修正留待本章的最后一节去讨论。

在上述假定下，式（7.3）和式（7.7）即可用来描述船体在波浪上的运动。如第1章中所约定，当我们讨论船体在波浪上的摇荡运动时，不考虑推进力、操纵力和与黏性有关的外力，只保留与摇荡运动有关的那些流体作用力，若流场中压力p（x，y，z，t）已知，则作用于船体的外力和外力矩分别可记为

这里n i是广义法线矢量的分量，S为物体的瞬时湿表面。这时，船舶的运动方程可记为

式中，i，j，k，l=1，2，3。如果在压力和速度势的求解中不略去非线性影响的话，上式可称为运动方程的精确提法。然而，正如前文章节中多次指出的那样，目前比较成熟的处理仅限于一阶近似，即只限于入射波是小量；如船舶有航速时，亦限于定常兴波为小量的情况，这样，船体的摇荡运动亦是小量，且与定常移动在流体动力特性上可认为互不干扰。

于是，精确到一阶，运动方程可记为

这里压力p由线性的拉格朗日积分计算，即

它也应在动坐标系中表达，当然，认为上式是在移动的参考坐标系中表达并非不可，因为当摇荡运动是小量时，由这两个坐标系而引起的差别是更为高阶的小量。上式中面积分区域已由瞬时湿表面S改为平均湿表面S 0，由此引起的误差也是高阶小量。这在下一节中将继续讨论。

为使表达更加简洁，引入矩阵

和矢量

式中，x 0j（j=1，2，3）为线位移运动；x 0j（j=4，5，6）为角位移运动。按式（7.13），有

故式（7.10）可缩写成如下紧凑的形式：

上式是船舶在波浪上运动的线性方程的最一般的描述，事实上，关于船舶在规则波中的运动，可继续将上式写成更为典型和清晰的形式。