对数螺旋线型破裂面的地震动特性研究

工程中选用框架锚索加固边坡时经常对边坡进行分级开挖、支护，本节针对对数螺旋线型破裂面通过坡趾的边坡分三级支护时的地震稳定性进行分析，见图4.14所示。边坡从下到上依次称为第一、二、三级边坡，其高度分别为h1、h2、h3，坡面角度分别为ψp、α1、α2，锚索锚固倾角为α，bc、de段长度分别为l1、l2，锚索的竖向间距和水平间距分别为lv、lh，每孔锚索在坡面的出露位置距坡脚为hij（第i级边坡的第j孔锚索），Of段长度为r0，对数螺旋线破裂面起止角度分别为θ0、θh，水平向地震系数为kh，岩土体重度为γ。

对数螺旋线坡面方程为

通过坡脚的基准线oa长度rh为

图4.14　框架锚索加固对数螺旋线型破裂面边坡

1.边坡体外力功率

1）O-a-f区域土体重力做功

令

则式（4.67）化简为

2）O-a-f区域土体水平地震力做功

令

则式（4.69）化简为

3）O-e-f区域土体重力做功

式中

4）O-e-f区域土体水平地震力做功

式中

5）O-d-e区域土体重力做功

o-e间水平距离loe′、竖直距离lee′，o-d间水平距离lod′，oe与oo′夹角θe，od与oo′夹角θd可按下式求解：

则土体重力做功为

令

则式（4.77）化简为

6）O-d-e区域土体水平地震力做功

令

则式（4.80）化简为

7）O-c-d区域土体重力做功

令

则式（4.83）化简为

8）O-c-d区域土体水平地震力做功

令

则式（4.86）化简为

9）O-b-c区域土体重力做功

oc与oo′间的夹角θc，oc之间的水平距离loch、竖直距离locv分别按下式计算

则土体重力做功为

令

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则式（4.90）化简为

10）O-b-c区域土体水平地震力做功

令

则式（4.93）化简为

11）O-a-b区域土体重力做功

令

则式（4.96）化简为

12）O-a-b区域土体水平地震力做功

令

则式（4.99）化简为

综上分析可得边坡体的外力功率

2.边坡体能量耗散功率

1）破裂面上黏聚力做功

黏聚力所做功率可以由该面微分面积r(θ)dθ/cos φ与黏聚力c、跨间断面的切向速度r(θ)ω˙cosφ的乘积沿a-f面积分得到，即

令

则式（4.103）化简为

2）锚索预应力做功

假设边坡最上部锚索编号为A3，3，自由段长度为l3，3，锚索与滑裂面相交点g对应的对数螺旋线角度为θg，则

第三级边坡中各锚索间的垂直距离d3，编号A3，3锚索与对数螺旋线中心o间的垂直距离d3，3，以及第三级边坡各锚索到对数螺旋线中心点的距离d3，j分别可按下式计算

第二级边坡中各锚索间的垂直距离d2，第二、三级边坡间锚索的垂直距离d2-3，以及第二级边坡各锚索到对数螺旋线中心点的距离d2，j分别可按下式计算

第一级边坡各锚索间的垂直距离d1，第一、二级边坡间锚索的垂直距离d1-2，以及第一级边坡各锚索到对数螺旋线中心点的距离d1，j分别按下式计算

预应力锚索做功可由各级边坡的预应力做功之和求得，即

式中 Ti，j(t) ── 第i级边坡第j排锚索的预应力；

di，j ── 第i级边坡第j排锚索距对数螺旋线中心点o的距离。

综上分析可得边坡体内部的能量耗散功率

联立式（4.102）和式（4.111），得到对数螺旋线型破坏机构下多级框架锚索加固边坡的地震稳定系数K

若在地震过程中，地震加速度时程曲线中出现大于屈服加速度的时间段，此后边坡体将沿潜在滑裂面出现向下的滑动位移，则对于滑动边坡体而言，产生滑动时的地震惯性力可分解为刚达到屈服加速度时的惯性力（这部分与滑体重力、黏聚力、抗滑桩阻滑力等做功相抵消）和超过屈服加速度部分产生的惯性力这两部分。根据达朗贝尔原理，滑块在运动过程中假设一虚拟惯性力，在其作用下滑体仍处于平衡状态。若不考虑竖直方向的地震力变化，则可得水平地震动超出屈服加速度部分所做的功率为Wy、虚拟惯性力做功为

Wv。

超出屈服加速度部分的惯性力

对于绕对数螺旋线中心滑动的边坡体而言虚拟惯性力为切向惯性力

式中 kc ── 水平向屈服加速度系数；

── 旋转角速度；

── 旋转角加速度；

Rg ── 边坡体重心至对数螺旋线中心的距离；

Rgv ── 边坡体重心至对数螺旋线重心的竖直距离。

令功率Wy与功率Wv相等，得到边坡沿对数螺旋线中心滑动的角加速度

对旋转角加速度进行双重积分即得岩土体在地震作用过程中沿中心转动的角位移ω，进而可求得岩土体各点在地震作用后的残余变形值。