与一元函数类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上.假定函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点,这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,只需求出f(x,y)在各驻点和不可导点的函数值及在边界上的最大值和最小值,然后加以比较即可.
求函数f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤如下:
①求函数f(x,y)在D内所有驻点处的函数值.
②求函数f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值.
③将前两步得到的所有函数值进行比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,可判断出函数f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,则可肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值(最小值).
例5 某厂要用铁板做成一个体积为8 m3的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省.
解 设水箱的长为x m,宽为y m,则其高应为m.此水箱所用材料的面积为
可知,材料面积A是x和y的二元函数(目标函数).按题意,下面要求这个函数的最小值点(x,y).解方程组
因此,得唯一的驻点x=2,y=2.(www.xing528.com)
注 本例的结论表明,在体积一定的长方体中,立方体的表面积为最小.
例6 有一宽为24 cm的长方形铁板,把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽.问怎样折才能使断面的面积最大?
解 设折起来的边长为x cm,倾角为α,则梯形断面的下底长为24-2x,上底长为24-2x+2x·cosα,高为x·sinα,故断面面积
即
可知,断面面积A是x和α的二元函数,这就是目标函数.下面求使这函数取得最大值的点(x,α),令
由于sinα≠0,x≠0,上述方程组可化为
解这方程组,得α=60°,x=8 cm.
根据题意可知,断面面积的最大值一定存在,并且在
内取得,通过计算可知,α=90°时的函数值比α=60°,x=8 cm时的函数值小.由于函数在D内只有一个驻点,因此,可断定,当α=60°,x=8 cm时,使断面的面积最大.
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