1)属于一般位置平面的直线和点
(1)取属于平面的直线
由初等几何可知,一直线若过平面上的两点,则此直线属于该平面,而这样的点必是平面与直线的共有点,将这两个共有点的同名投影连线即为平面上的直线的投影,如图2.47(a)中的M、N点,以及由这两点连成的直线MN(此时直线MN属于平面);或者一直线若过平面上的一点且平行于平面上的一条直线,此直线必在平面上。在投影中,这两条直线同名投影相互平行,如图2.47(b)所示的直线KD。直线KD过K点,且平行于AB,此时直线KD属于平面。平面上的直线的迹点,一定在该平面上的同名迹线上。如图2.47(c)所示,M、N点分别在QH、QV两条迹线上,此时直线MN属于平面。
图2.47 平面取点、取线的几何条件
【例2.14】已知相交两直线AB与AC的两面投影,在由该相交直线确定的平面上取属于该平面上的任意的一条直线(图2.48)。
【解】取属于直线AB的任意点D和属于直线BC的任意点E(用直线上取点的投影特性求取),并将两点D、E的同名投影连接即得。
图2.48 取平面上的直线
(2)取属于平面的点
若点在平面上的某一直线上,则点属于此平面。平面上点的正投影,必位于该平面上的直线的同名投影上,所以欲在平面内取点,应先在平面上取一直线,再在该直线上取点。如果点在平面上,则该点必在平面上的某一直线上。
【例2.15】如图2.49所示,已知△ABC内一点M的正面投影m′,求点M的水平投影m。
【解】分析:若在△ABC内作一辅助直线,则M点的两面投影必在此辅助直线的同名投影上。
作图:①在△a′b′c′上过m′作辅助直线1′2′。
②在△abc上求出此辅助直线的水平投影12。
③从m′向下引投影连线与辅助直线的水平投影的交点,该点即为点M的水平投影m。
图2.49 平面上取点
【例2.16】已知平面四边形ABCD的正面投影a′b′c′d′和AD边水平投影ad,BC边平行正平面,如图2.50(a)所示。完成平面的水平投影abcd。
【解】分析:平面由不共线三点、两相交直线、两平行直线等来确定。从已知条件中可得,此平面中包含了一条正平线,可以过直线外一已知点再作一条与已知正平线平行的直线,平面即可确定;再用平面上取点的方法,将相邻点同名投影连接即可。
图2.50 完成平面的投影
作图:①过点a作一正平线am的两面投影,am∥bc,a′m′∥b′c′。(www.xing528.com)
②a′m′交d′c′于m′,求出直线dc的水平投影dc。
③过c作直线bc的水平投影bc。
④连接ab即可。
由此例可以得出结论,绘制一个平面多边形的投影,必须使此多边形的各个顶点均属于同一平面。
2)属于特殊位置平面的点和直线
属于特殊位置平面的点和直线,它们至少有一个投影必重合于具有积聚性的迹线;反之,若直线或点重合于特殊位置平面的迹线,则点与直线属于该平面。
过一般位置直线总可以作投影面垂直面,而过特殊位置直线能作些什么样的特殊位置平面呢?以正垂线为例(如图2.51所示),过正垂线DE可作一水平面P、一侧平面Q,以及无数多个正垂面R。
图2.51 过正垂线作平面
【例2.17】已知直线AB投影如图2.52(a)所示,包含直线AB作投影面的垂直面。
【解】分析:若直线AB属于某特殊位置平面,则该平面的迹线与直线的同名投影重合,由此可过直线AB作出铅垂面或正垂面。
作图:①用迹线表示法作图。过ab作一迹线QH即为铅垂面,如图2.52(b)所示;过a′b′作一迹线RV,即为正垂面,如图2.52(c)所示。
②图2.52(d)、(e)是用几何元素表示法作出的正垂面及铅垂面。在今后空间问题思考中,包含直线作投影面垂直面(用迹线表示)是经常用到的。为了区别迹线和已知直线,在表示迹线平面时,可用细线两端画粗线的方法来表示迹线,如图2.52(b)和(c)所示。
图2.52 过一般位置直线作特殊位置平面
3)属于平面的投影面平行线
属于平面的投影面的平行线,不仅与所在平面有从属关系,而且还应符合投影面的平行线的投影特征。即在两面投影中,直线的其中一个投影必定平行于投影轴,同时在另一面的投影平行于该平面的同面迹线。
平面内的投影面的平行线可分为平面内的正平线、平面内的水平线及平面内的侧平线。
【例2.18】已知平面△ABC投影如图2.53(a)所示,过点A作平面内的水平线及正平线。
【解】水平线正面投影平行于OX轴,过点a′作平行于OX,与b′c′交于点e′,在bc上作出e,连接ae即为所求水平线,如图2.53(b)所示;正平线AM作法与水平线类同,绘制结果如图2.53(c)所示,此处叙述从略。
图2.53 作平面上的投影面平行线
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