前面我们利用导数的定义求出了一些基本初等函数的导数,并且给出了它们的求导公式.但是对于比较复杂的函数,用定义来求导数是很困难的,有些甚至是不可能的.为了较容易地求出初等函数的导数,本节将介绍求导数的一些基本法则和求导公式,通过这些法则和公式,就能较方便地求出任意初等函数的导数.
一、函数的和、差、积、商的求导法则与导数公式
设函数u=u(x),v=v(x)在点x 处可导,则其和、差、积、商在x 处也可导,且有,
法则1:(u±v′)=u′±v′;
法则2:(uv′)=u′v+uv′;
特例:(cu′)=cu′(c为常数).
其中,法则1和法则2可以推广到任意有限项的情形,如
例1 求函数y=2x3-5x2+3x-6的导数.
解 y′=(2x3-5x2+3x-6′)=(2x3′)-(5x2′)+(3x′)-(6′)=6x2-10x+3.
例2 设函数f(x)=(1-x2)sinx,求f′(x).
解 f′(x)=(1-x2′)sinx+(1-x2)(sinx′)=-2xsinx+cosx-x2cosx.
例3 已知y=tanx,求y′.
即
类似地,可求出余切函数的导数公式:
例4 已知y=secx,求y′.
类似地,可求出余割函数的导数公式:
通过导数的定义,函数的和、差、积、商的求导法则我们已经推导出部分基本初等函数的导数公式,这些公式是解决初等函数求导问题的基础和重要工具,读者必须熟练掌握它们.为了便于查阅,现将全部基本初等函数的导数公式归纳如下:
二、复合函数的导数
前面所讨论的是基本初等函数和一些较简单函数的求导问题,而对于lnsinx、(2x+1)10、ex3等复合函数,我们还不知道它们是否可导,若可导,又如何求其导数.根据以下法则,我们便可以解决这些问题.
复合函数的求导法则:
如果u=φ(x)在点x 处可导,y=f(u)在点u 处可导,则复合函数y=f [φ (x)]在点x 处也可导,且
(法则证明略).
法则表明,复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.此法则对于由多个可导函数复合而成的复合函数求导同样适用.
例5 求y=(2x+1)10的导数.
解 y=(2x+1)10可以看作是由y=u10,u=2x+1复合而成,因此
解 y=lnsinx 可以看作是由y=lnu,u=sinx 复合而成,因此
例7 y=esinx2,求y′.
解 y=esinx2可以看作是由y=eu,u=sinv,v=x2复合而成,因此
从以上几个例题可以看出,应用复合函数求导法则求所给函数的导数的关键是要能够把所给函数分解为我们已经会求导数的简单函数的复合,即当一个函数如果能够分解成基本初等函数或常数与基本初等函数的和、差、积、商的形式,我们便可以求出其导数.
在比较熟悉复合函数求导法则之后,中间变量可以在求导过程中不写出来,而直接写出函数的中间变量的求导结果,重要的是每一步对哪个变量求导必须清楚.
例8 y=cos4x,求y′.
解 y′=(cos4x′)=4cos3x(cosx′)=4cos3x·(-sinx)=-2sin2xcos2x.
三、隐函数的导数
函数是表示变量y 与x 之间的对应关系,这种对应关系可以用不同的形式表达.如果因变量y 已经写成自变量x 的明显表达y=f(x),这类函数称为显函数;如果y 与x 之间的对应关系是由方程F(x,y)=0所确定的,函数关系隐含在方程中,这类函数则称为隐函数.
例如,y3-2x2=1和x+y=exy都是隐函数.不同之处在于,前者能够通过方程解出y,即可化为显函数,这叫做隐函数显化.无论是哪种形式的隐函数,都可以通过下面的方法求出导数,现举例如下.(www.xing528.com)
例11 求由方程y3-2x2=1所确定的隐函数的导数y′.
解 因为y 是x 的函数,所以y3是复合函数.应用复合函数的求导法则,方程两边同时分别对x 求导,可得
从而解得
例12 求由方程xy+ex-ey=0所确定的隐函数的导数y′.
解 因为y 是x 的函数,所以ey是复合函数.应用复合函数的求导法则,方程两边同时分别对x 求导,可得
从而解得
以上两例足以看出解决隐函数的求导问题可以通过以下的法则.
隐函数的求导法则:
利用复合函数的求导法则,直接将方程F(x,y)=0两边对x 求导,从而确定隐函数的导数y′.
四、高阶导数
相应地,把y=f(x)的导数y′称为y=f(x)的一阶导数.
类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,…,n-1阶导数的导数称为n阶导数,分别记作
二阶及二阶以上的导数统称为函数的高阶导数.f(x)的n 阶导数是由f(x)连续依次地求n次导数得到的.
例13 y=4x3-2x2+5,求y″.
解 y′=12x2-4x, y″=(12x2-4x′)=24x-4.
例14 求指数函数y=ex的n 阶导数.
解 y′=ex,y″=(e x′)=ex,y‴=ex,y(4)=ex,…
由此可得y(n)=ex,即 (ex)(n)=ex.
例15 求由方程x-y+siny=0所确定的隐函数y 的二阶导数y″.
解 两边同时对x 求导
得
两边再对x 求导
习题2-2
1.求下列函数的导数.
3.求由下列方程所确定的隐函数的导数y′.
(1)x+y=exy; (2)x+xy-y2=0;
(3)xey+y=0; (4)y=ln(x+y);
(5)xcosy=sin(x+y); (6)xy+xlny=ylnx;
(7)y=xsinx; (8)exy+ylnx=cos2x.
4.求下列函数的二阶导数.
(1)y=x3+3x2+2; (2)y=x+cosx;
(3)y=e2x-1; (4)y=lnsinx;
(5)y=xex; (6)y=x3lnx;
(7)y=1+xey; (8)y=sin(x+y).
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