考情提要
续表
考点精讲
(一)样本比例的抽样分布
我们常常假定总体中对具有某一特征产品的喜好比例为π,在此条件下去研究从总体中随机抽取n个个体进行调查时,喜好某一产品的个体数X的概率。在实际应用中我们关心的正是总体中喜好某一产品的个体数比例π。如果样本大小为n的样本中具有某一特征的个体数为X,样本比用表示成(来估计总体比例π)。
由二项分布的原理和渐近分布的理论可知,当n充分大时,的分布近似服从均值为π、方差为的正态分布,即
【例6.10】
设总体比例为0.2,从总体中抽取容量为100的样本,则样本比例的标准差为多少?
【解析】
由二项分布的原理和渐近分布的理论可知,设总体比例为π,当n充分大(n=100>30)时,样本比例的标准差为。
知识点补充
(1)一般来讲,当np≥5,并且n(1-p)≥5时,就可以认为n充分大。
(2)当不重复抽样时,样本比例的分布为,对于无限总体,不重复抽样可以视为重复抽样计算方差。对于有限总体,当N很大,且n/N≤5%时,修正系数会趋向于1,这时也可以按照重复抽样的计算方法计算样本均值的方差。
(二)两个样本平均值之差的分布
设是独立地抽自总体X1~N(μ1,)的一个样本容量为n1的样本均值,是独立地抽自总体X2~N(μ2,)的一个容量为n2的样本均值,则有
如果两个总体均为正态分布,则也为正态分布,其均值和方差就符合上述均值和方差的计算公式,即
【例6.11】
甲、乙两所著名高校在某年录取新生时,甲校的平均分为655分,且服从正态分布,标准差为20分;乙校的平均分为625分,也是正态分布,标准差为25分。现从甲、乙两校各随机抽取8名新生计算其平均分数,出现甲校比乙校的平均分低的可能性有多大?
【解析】
因为两个总体均为正态分布,所以8名新生的平均成绩也分别为正态分布,也为正态分布,且
甲校新生平均成绩低于乙校学生平均成绩,即,故
由此可见,出现甲校新生平均成绩低于乙校新生平均成绩的可能性很小。
(三)两个样本比例之差的分布
设分别从具有参数为π1和参数π2的二项总体中抽取包含n1个观测值和n2个观测值的独立样本,则两个样本比例差的抽样分布为(www.xing528.com)
具有下列性质:
①=π1-π2,
②当n1和n2很大时,的抽样分布近似为正态分布,其均值与方差为上述计算公式,即
(四)样本方差的分布
设X1,X2,…,Xn为来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,则样本方差S2的分布为
式中,将χ2(n-1)称为自由度为n-1的χ2分布。
(五)两个样本方差比的分布
设X1,X2,…,Xn1是来自正态总体N(μ1,)的样本,Y1,Y2,…,Yn2是来自正态总体N(μ2,)的样本,且Xi(i=1,2,…,n1)与Yi(i=1,2,…,n2)相互独立,则
F(n1-1,n2-1)是第一自由度(分子自由度)为n1-1,第二自由度(分母自由度)为n2-1的F分布。
真题精练
1.某批产品的合格率为90%,从中抽出n=100的简单随机样本,以样本合格率^p估计总体合格率,则的期望值和标准差分别为( )。
A.0.9,0.09
B.0.9,0.03
C.0.9,0.3
D.0.09,0.3
【2011浙江工商大学】
2.已知正态总体X的均值为3,方差为25,从该总体中随机抽取容量为25的样本:X1,,则的均值和方差为( )。
A.0,24
B.3,25
C.0,1
D.3,1
【2014重庆大学】
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