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抽样分布学习笔记:样本比例与样本方差比的详解

时间:2023-07-22 理论教育 版权反馈
【摘要】:考情提要续表考点精讲(一)样本比例的抽样分布我们常常假定总体中对具有某一特征产品的喜好比例为π,在此条件下去研究从总体中随机抽取n个个体进行调查时,喜好某一产品的个体数X的概率。当不重复抽样时,样本比例的分布为,对于无限总体,不重复抽样可以视为重复抽样计算方差。(五)两个样本方差比的分布设X1,X2,…

抽样分布学习笔记:样本比例与样本方差比的详解

考情提要

续表

考点精讲

(一)样本比例的抽样分布

我们常常假定总体中对具有某一特征产品的喜好比例为π,在此条件下去研究从总体中随机抽取n个个体进行调查时,喜好某一产品的个体数X的概率。在实际应用中我们关心的正是总体中喜好某一产品的个体数比例π。如果样本大小为n的样本中具有某一特征的个体数为X,样本比用表示成(来估计总体比例π)。

二项分布的原理和渐近分布的理论可知,当n充分大时,的分布近似服从均值为π、方差正态分布,即

【例6.10】

设总体比例为0.2,从总体中抽取容量为100的样本,则样本比例的标准差为多少?

【解析】

由二项分布的原理和渐近分布的理论可知,设总体比例为π,当n充分大(n=100>30)时,样本比例的标准差为

知识点补充

(1)一般来讲,当np≥5,并且n(1-p)≥5时,就可以认为n充分大。

(2)当不重复抽样时,样本比例的分布为,对于无限总体,不重复抽样可以视为重复抽样计算方差。对于有限总体,当N很大,且n/N≤5%时,修正系数会趋向于1,这时也可以按照重复抽样的计算方法计算样本均值的方差。

(二)两个样本平均值之差的分布

独立地抽自总体X1~N(μ1)的一个样本容量为n1的样本均值,是独立地抽自总体X2~N(μ2)的一个容量为n2的样本均值,则有

如果两个总体均为正态分布,则也为正态分布,其均值和方差就符合上述均值和方差的计算公式,即

【例6.11】

甲、乙两所著名高校在某年录取新生时,甲校的平均分为655分,且服从正态分布,标准差为20分;乙校的平均分为625分,也是正态分布,标准差为25分。现从甲、乙两校各随机抽取8名新生计算其平均分数,出现甲校比乙校的平均分低的可能性有多大?

【解析】

因为两个总体均为正态分布,所以8名新生的平均成绩也分别为正态分布,也为正态分布,且

甲校新生平均成绩低于乙校学生平均成绩,即,故

由此可见,出现甲校新生平均成绩低于乙校新生平均成绩的可能性很小。

(三)两个样本比例之差的分布

设分别从具有参数为π1和参数π2的二项总体中抽取包含n1个观测值和n2个观测值的独立样本,则两个样本比例差的抽样分布为(www.xing528.com)

具有下列性质:

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②当n1和n2很大时,的抽样分布近似为正态分布,其均值与方差为上述计算公式,即

(四)样本方差的分布

设X1,X2,…,Xn为来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,则样本方差S2的分布为

式中,将χ2(n-1)称为自由度为n-1的χ2分布。

(五)两个样本方差比的分布

设X1,X2,…,Xn1是来自正态总体N(μ1)的样本,Y1,Y2,…,Yn2是来自正态总体N(μ2)的样本,且Xi(i=1,2,…,n1)与Yi(i=1,2,…,n2)相互独立,则

F(n1-1,n2-1)是第一自由度(分子自由度)为n1-1,第二自由度(分母自由度)为n2-1的F分布。

真题精练

1.某批产品的合格率为90%,从中抽出n=100的简单随机样本,以样本合格率^p估计总体合格率,则的期望值和标准差分别为( )。

A.0.9,0.09

B.0.9,0.03

C.0.9,0.3

D.0.09,0.3

【2011浙江工商大学】

2.已知正态总体X的均值为3,方差为25,从该总体中随机抽取容量为25的样本:X1,则的均值和方差为( )。

A.0,24

B.3,25

C.0,1

D.3,1

【2014重庆大学

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