序列和波形的相关函数优化

对于周期序列的相关函数首先是针对-1和1组成的二元序列进行定义的。例如两个周期（或长度）均为P的周期序列{an}与{bn}之间的相关函数和相关系数分别定义为

当{an}＝{bn}（即它们逐项相等）时，R和ρ分别称为序列的自相关函数和自相关系数。

上述求相关函数和相关系数的公式，对于由0和1组成的二元序列本身是不适用的。必须将0和1组成的二元序列变成相应的由1和-1组成的二元序列，才能直接使用上述公式。为了使这些公式适用于二元序列，必须将它们作适当的变化。当两个参加相关运算的序列的对应元素如ak与bk-τ是相同或一致时，即ak与bk-τ均为1或-1时，它们的乘积为1；当两个参加相关运算的序列的相应元素相反或不一致时，它们的乘积为-1。在对应元素积中只可能有这两种不同情况出现，因此上述相关函数和相关系数可以统一地写成

式中，A表示两序列对应元素相同的个数，D表示两序列对应元素相反的个数，N＝A＋D表示求相关的元素总数即N＝P。这样，上式所表示的序列相关函数和相关系数公式不仅适用于1和-1组成的二元序列，同时也适用于由0和1组成的二元序列本身。由上述推导的公式可知，当直接用0和1组成的二元序列计算相关函数和相关系数时，可先求出两个序列的模2和序列，然后将和序列中0的个数减去1的个数，所得之差就是相关函数值，再将这个差数除以求相关的元素总数N便得到相关系数值。

相关函数和相关系数之间只差一个比例常数，其余各方面的特性都一样，只需研究其中之一。为方便起见，把两者都统一叫做相关函数。

一般应用最广泛的是M序列，它是由线性移位寄存器产生的最长线性移位寄存器序列。M序列也是一个伪随机序列，其长度为

n＝2r-1

式中，r是大于1的正整数，也是实现长度为n的M序列的线性移位寄存器的级数。由于M序列具有较好的随机性，又易产生，故应用广泛。在M序列中

0　出现的次数＝2r-1-1

1　出现的次数＝2r-1

因而在M序列中1出现的次数比0出现的次数多一次。同时，原M序列An与其位移（τ≠0）序列An-τ的模2和序列与原M序列平移等价，仍然是一个M序列。这样，可以根据自相关系数定义得

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由上可知A＝2r-1-1，D＝2r-1，P是An和An-r模2和之后的周期，仍与An周期相同。

所以

当τ＝0时，显然有an＝an-τ，因而它们的模2和序列是一个0序列，这时

A＝P，D＝0

因而

由以上结果说明，M序列的相关系数有两个不同的值，即M序列具有双值自相关系数特性。

与M序列对应的二元波形称为M波形或伪随机波形。在实际运用中，求出M波形的自相关函数具有更大的意义。

可以证明M波形的自相关函数表示为

式中，t0为码元长度；P为M序列的周期；Pt0为M波形的周期，其图形如5-15所示。由图中可见，M波形的自相关函数呈现出陡峭的响应尖峰，其底部宽度为2t0，因此，当码元宽度足够小时，可以获得良好的距离分辨力。

图5-15　M波形自相关数