深入探析模糊认知图

1.模糊认知图的概念及特性

模糊认知图(Fuzzy Cognitive Maps,FCM)是由Kosko于1986年在其Fuzzy cognitive maps一文中正式提出的动态建模方法。该方法在认知图的基础上引入了模糊理论,将原本认知图中节点间的三值关系{-1,0,1}拓展为区间[-1,1]上的模糊关系,从而使得模糊认知图可以表达更加丰富的信息。

从表现形式上看,模糊认知图是一种由节点和带权重的有向弧组成的网状图。节点用来描述与系统行为有关的概念,带权重的有向弧则用来表示这些概念之间的关系。节点的值代表着每一个概念在系统特定时刻下的状态,而有向弧的权重则表示彼此相连的因节点影响果节点的程度。这些值的大小可以由专家来设定,也可以通过学习算法计算得到。因此,模糊认知图的结构就是含义,带权重的有向弧就是存储知识的基本单元。

模糊认知图支持专家知识及因果关系的表示与推理。因为这些知识蕴含在概念节点之间的影响关系中,因此可以通过整个图中各节点之间的相互作用来模拟系统的动态行为,反映系统对于变化的响应情况。对于指定的问题,可以通过模糊认知图进行建模,实现可视化的表达。在所建模型的基础上,改变输入节点的状态值,通过迭代算法让系统重新回到平衡状态,就可以计算出系统变化之后输出节点的状态,从而实现对于系统的解释和预测。

模糊认知图具有如下特性:

(1)模糊认知图建立方便,利于理解,能与专家头脑中的知识结构形成良好的映射关系,适用于隐性知识的建模与表达。

(2)模糊认知图采用定量化的数值表达,利于因果关系的推理,从而实现对系统的解释与预测。

(3)模糊认知图具有神经网络与模糊逻辑的特性,所以很容易引入学习机制,为其智能化地表达更高阶的知识奠定了基础。

(4)模糊认知图具有反馈机制,可以为复杂动态系统的建模提供支持。

2.模糊认知图的形式化描述

图6.1展示了一个具有n(n=5)个节点的模糊认知图,它可以用n×n阶的邻接矩阵E=(eij)n×n唯一确定,该邻接矩阵如式(6.1)所示。

一个模糊认知图可以用三元组FCM={C,V,E}来表示,其中,C={c1,c2,…,cn}表示模糊认知图的概念节点集合;V={ci,cj|ci,cj∈C}代表所有节点之间的因果关联有向弧,其中一个有向弧〈ci,cj〉表示节点ci对节点cj的影响;E={eij|eij是有向弧〈ci,cj〉的权值}代表所有节点之间的影响强度。如果eij＞0,则表示节点ci对节点cj存在正因果关系,即节点ci的增加会导致节点cj的增加;如果eij＜0,则表示节点ci对节点cj存在负因果关系,即节点ci的增加会导致节点cj的减少;如果eij=0,则表示节点ci对节点cj不存在因果关系。

图6.1　模糊认知图结构示意图

3.模糊认知图的推理

从模糊认知图的结构看,概念节点间的连接表示节点间的柔性约束,它们既表示规则又执行推理。若节点ci与节点ck之间存在因果关系,且节点ck与节点cj之间也存在因果关系,那么根据关系的传递性就可以推理出节点ci与节点cj之间也存在因果关系。如果节点ci和节点cj与推理结果相符,则节点状态得到增强;否则,节点状态被减弱。因此,模糊认知图利用这种节点关系的传递性进行逻辑推理,实现对原有因果关系的修正,达到整合信息、系统预测等目的。

所以,模糊认知图的推理过程可以看成是一个“如果……那么……”的回答过程。一个状态向量代表着一个事件,为模糊认知图输入一个状态向量,就相当于对系统发问:如果某事件发生了,那么会导致什么样的结果?系统输出就是对该问题的回答,而得出答案的过程就是模糊认知图的推理过程。(www.xing528.com)

推理起始于一个初始状态向量的输入,之后每一次推理过程都是t时刻模糊认知图中各节点的状态向量C(t)与模糊认知图的邻接矩阵相乘,然后经过阈值函数的处理,输出迭代结果C(t+1),并以C(t+1)作为输入进行下一次迭代。当整个系统结果迭代若干次后,最终进入固定点或极限,则推理过程完成。而系统的推理过程将构成一组状态序列(C(1),C(2),…,C(t))。推理过程的迭代公式如式(6.2)所示。

式中,向量C(t)代表模糊认知图中各节点在t时刻的状态值;f代表阈值函数。

1)固定点和极限环

固定点是指模糊认知图的节点状态向量从推理过程的第k时刻起不再发生变化,即C(k+1)=C(k),则称第k时刻为固定点,C(k)为固定点状态。

极限环是指模糊认知图的节点状态向量从第k时刻起进入长度固定的循环,则称C(k1),C(k2),…,C(kr)为模糊认知图长度为r的极限环。

对于一个给定输入,模糊认知图经过若干次推理迭代,一定会达到固定点或极限环的状态,这种推理的结果称为模糊认知图的最终模式,这是由于模糊认知图的状态空间是有限的。固定点状态就意味着在模糊认知图中存在一组概念节点,它们之间通过传递性产生相互作用,以固定次序依次改变其状态。这个次序定义了一个序列,从某时刻起,每个节点的状态不再发生变化。而极限环则意味着在模糊认知图中存在一组概念节点,周期性地,以固定次序改变其变化。这个次序定义了一个闭合的序列,它表示了该集合中概念节点状态的变化传递过程。对序列中的某概念节点而言,也将构成一个状态变化序列,它表示该节点的状态变化过程。

2)阈值函数

阈值函数f用于FCM的迭代运算,其目的是保证迭代后每一个节点的状态值都在特定的可解释的区间内,如[0,1]或者[-1,1]。通常使用的阈值函数有二元函数、三元函数、双曲正切函数和Logistic函数。各函数的表达式如下:

二元函数

三元函数

双曲正切函数

Logistic函数