反应谱分析和应用

工程设计中，人们最关心的往往是结构的最大位移反应、最大速度反应、最大加速度反应，故最有用的是式（2.42）、式（2.44）和式（2.46）的最大值。对地震运动作出的最大反应值与体系的自振频率及阻尼比的关系称为反应谱，包括位移反应谱、速度反应谱和加速度反应谱。由式（2.42）、式（2.44）和式（2.46）可见，最大反应值是体系的自振频率ω（或自振周期T）和阻尼比λ的函数。把最大反应值对自振频率ω （或自振周期T）以及阻尼比λ画成曲线称为反应谱曲线，简称谱曲线。

反应谱在抗震计算中有很大用处。有了反应谱，不但可以直接算出单自由度建筑物在地震作用下的最大反应，而且可以通过振型叠加法估算多自由度建筑物的地震最大反应。

1.相对位移反应谱

有了地震加速度时程曲线，可按照式（2.45）用2.1.2.2 节和2.1.2.3 节所述的数值积分法计算不同T、λ特性的最大位移反应，取其绝对值，即

式中 Sd——相对位移反应谱。

2.相对速度反应谱

为了计算和应用的方便，相对速度反应谱是利用简谐运动的位移曲线振幅和速度曲线振幅的关系，即

由Sd计算得到的，即

式中 Sv——相对速度反应谱。

由于cosω t—（）τ 与sinω t—（）τ 的最大值 （振幅）相等，故式 （2.50）的右边就是式（2.48）的右边乘ω。因此速度反应谱不是式 （2.44）的真实速度反应谱，而是拟速度反应谱。

3.绝对加速度反应谱

式中 β——绝对加速度反应谱系数，它反映加速度的放大系数。

计算反应谱的方法，除2.1.2.2 节和2.1.2.3 节讲的数值积分法以外，还有相平面图解法、矢量图解法等，还可用电模拟法量测电学量，扭摆模拟法量测扭摆角位移，以换算位移反应和速度反应。除此以外，可以在现场设置一组不同自振周期不同阻尼的单摆仪，在地震发生时，各个单摆仪记录的最大位移就是不同周期不同阻尼的位移反应，便可据此作出位移反应谱。

反应谱的计算工作很繁重，一些地震加速度时程曲线都由科研单位作出反应谱供设计人员应用。图2.10 是美国加州塔夫脱（Taft）村1952 年地震南北方向的地震加速度时程曲线和加速度反应谱。图2.11 是1975 年2 月15 日海城地震中测得的东西向水平地震加速度时程曲线和工程力学研究所计算的加速度反应谱。图2.12 是1976 年7 月29 日唐山地震迁安余震竖向和南北水平向两条地震加速度时程曲线及南北水平向的加速度反应谱。由于各处的地震加速度时程曲线不相同，即使在同一地点，各次的地震加速度时程曲线也不相同，所以虽根据附近地震台站的地震加速度时程曲线作出了坝址的设计加速度时程曲线，但很难预料今后可能发生的地震加速度时程曲线是否会同已经发生过的一样。因此一些科研人员作了若干次地震加速度时程曲线的反应谱以后，把它们统计归纳平均成平滑化的反应谱曲线，供设计人员应用。图2.13 是豪斯纳 （G.W.Housner）根据美国大地震记录到的具有两个分量的四次最强的地面运动记录计算的反应谱经过标准化、平均化、光滑化而提出的设计反应谱。

图2.10　美国塔夫脱村1952 年地震南北向水平加速度时程曲线和加速度反应谱

（a）地震加速度时程曲线；（b）加速度反应谱

我国DL 5073—2000 《水工建筑物抗震设计规范》建议的标准化设计加速度反应谱如图2.14 所示。按照规范，重力坝和拱坝的最大地震加速度反应谱值βmax分别取2.0 和2.5，水闸和进水塔取2.25。根据SDJ 10—78 规范讨论意见：对于岩基上的土坝和堆石坝，βmax取1.6；土基上的土坝和堆石坝，βmax取1.3；软弱土基上的土坝和堆石坝，βmax取1.22。βmin取0.2βmax。特征周期Tg根据场地类别选取，通常岩石地基取0.2s，一般非岩性地基取0.3s，软弱地基取0.7s。

图2.11　1975 年2 月15 日海城地震东西向水平加速度时程曲线和加速度反应谱

（a）地震加速度时程曲线；（b）工程力学研究所计算的加速度反应谱(www.xing528.com)

图2.12　1976 年7 月29 日唐山迁安余震加速度时程曲线及加速度反应谱

（a）竖向和南北向地震加速度时程曲线；（b）南北向加速度反应谱

图2.13　平滑化的平均地震反应谱

（a）速度反应谱Sv；（b）加速度反应谱

图2.14　DL 5073—2000 《水工建筑物抗震设计规范》建议的设计加速度反应谱

DL 5073—2000 建议的反应谱不是地震作用下的真实反应，而是在一定设防标准下可能产生的地震反应。此反应谱只适用于阻尼比λ＝0.05 的情况 （但DL 5073—2000 规范未指出），对其他阻尼比情况，可乘以修正系数φ（λ）进行转换，即

式中 βλ＝0.05——λ＝0.05 时的标准值；

β（λ）——λ≠0.05 时的设计反应谱；

φ（λ）——修正系数。

许多研究者通过对大量实测强震记录计算结果加以统计，给出了一些修正系数φ （λ）的经验公式。

麦德维捷夫的修正系数计算公式为

陈达生统计了美国11 次强震资料，建议

刘锡荟建议

刘恢先建议

式中：n＝0.25～0.5。久保庆三郎建议

Sozen和Akenori Shibata建议