非线性光学与光子学：后向受激散射相位共轭特性数学描述

从如图8-23所示物理模型出发，在数学处理过程中，无论是总的入射泵浦光场，还是总的后向受激散射出射光场，都不需要分解为众多项的级数展开，而只需要分别分解为两部分之和，从而使较为严密的数学求解易于实现。为此，作者等人分别就泵浦光非聚焦入射以及聚焦入射两种情况，从数学上证明了式（8-31）的成立，并同时指出了为此需要满足的具体物理条件［58，69］。为简明起见，下面仅以泵浦光非聚焦入射情况为例，说明该种理论推导的要点［69］。

假设一平面泵浦光束经过一个畸变作用不很大的像差板，然后以准平行光束方式直接入射到散射介质中；此外，只考虑稳态作用情况，亦即光场振幅和波面不随时间而变。

按照前面所采用的物理解释模型并参照图8-23，可将经过像差板后的总的入射泵浦光场表示为两部分之和（不考虑场的偏振特性），即

这里假设入射场沿-z轴方向传播，A1（z）和A2（z）分别为总光场中所含平面波和像差波的实振幅函数，θ（z）为像差波的相位因子，它表征该像差波偏离理想波面的程度并且是空间坐标z的函数。

同样，沿+z轴方向传播的总的后向受激散射光场也可表示为两部分之和，即

式中，为初始受激散射光（读取光）的实振幅函数，是读取波经过全息光栅形成的衍射波的实振幅函数，θ'（z）为表述后者波面特性的相位函数。

在小信号增益近似下，初始受激散射光沿行进方向上的变化为

式中，g为指数增益因子。进一步假设在介质有效作用区内泵浦光的衰减可以近似忽略，则泵浦波场满足的波动方程为

将式（8-32）代入上式可求得函数θ（z）满足方程：

另一方面，经四波混频作用产生的衍射波满足的波动方程为

式中，μ0为真空中磁导率，是唯象引入的对应波的三阶非线性电极化波场，它可写为

式中，是形式上引入的表征振幅增益的介质有效三阶非线性系数，因此可进一步表示为纯虚数形式，亦即，这里为实数。将式（8-38）代入式（8-37），然后利用振幅慢变化近似可求得

式中，

在像差影响不是十分大的情况下，θ'（z）的二阶导数可以忽略，故式（8-39）中第一式可以简化为

这里增益因子。另一方面，由式（8-36）中第一式减去式（8-39）中第二式后可得

在小像差近似下，可认为θ和θ'的一阶导数的平方均十分小，以至于

则式（8-42）简化为(www.xing528.com)

这样，得出相互关联的方程式（8-41）和式（8-43），它们共同描述波场的振幅与相位函数的变化规律。下面继续考虑它们的求解过程。

首先，将式（8-41）被式（8-43）相除后可得

这一方程的解为

式中，B为一常数，而（0）和δθ（0）为相应的初始值。由式（8-45）求得

将这一量再代入到式（8-41）后可得

在衍射波出现的初始位置，（0）值非常小以至于不管sinδθ（0）大小如何，总可以认为B≈0，则上面的方程进一步简化为

这里，已假设在弱波场振幅和获得指数增益的同时，强泵浦波场振幅A1和A2的变化可以近似忽略。式（8-48）的解为

为进一步求解相位变化函数，可将式（8-49）代入式（8-45）求得

考虑到A1＞＞A2和，可认为上式中的分数项1，因此有

如果总的指数增益足够强，使得以下条件成立：

则有

上式的物理含义是，波在沿行进方向获得较强指数增益的同时，它的波面形状也越来越靠近A2泵浦波，但与后者的行进方向相反。

基于式（8-33）、式（8-34）、式（8-49）和式（8-53），由介质输出的总的后向受激散射波场可表示为

将其与由式（8-32）决定的总入射泵浦波场表达式相比较可以看出，总受激散射波场的确可以与总泵浦波场成相位共轭关系。这种关系存在的前提，是由式（8-52）决定的条件得到满足，亦即受激散射必须在远高于阈值的高增益实验条件下产生。

在多数受激散射实验情况下，泵浦光是以聚焦光束方式入射到散射介质中，此情况下的入射泵浦波场，可以用厄米高斯（Hermite-Gaussian）函数描述。采用同样的思路，经过类似但繁琐得多的数学推导过程，可以证明，在满足一定物理条件的前提下，总输出受激散射波场仍然可以与总输入泵浦波场成相位共轭关系［58］。所需要满足的条件，首先是单次通过介质样品的高增益，它决定于泵浦光强、介质增益因子与有效增益长度的乘积；其次是泵浦光经受的像差或畸变影响不能过大，否则受激散射输出波面的再现精度或保真程度将受到限制。这些推论，基本上与实验事实相符合。