唯一解:边值问题解的唯一性

定理3.3　如果区域Ω的边界Γ满足定理3.2中的条件，那么同一个诺伊曼内问题的解彼此间只能相差一个常数。也就是说，诺伊曼内问题的解除去一常数外是唯一的。

证明　设u1（x，y，z）和u2（x，y，z）在Ω内都是调和函数，在Ω∪Γ上连续，而且在Γ上满足同样的边界条件：，那么函数u＝u1－u2在Ω内也是调和函数，在Ω∪Γ上连续，在Γ上，如果函数u不恒等于常数，则由极值原理，知其最小值必在Γ上达到，再由定理3.2，在u取最小值的点处导数，从而导致矛盾。因此u必等于一个常数。定理证毕。

定理3.4　如果区域Ω满足外切球条件，则调和方程（3.1）的诺伊曼外问题的解如果存在，必是唯一的。(www.xing528.com)

证明　设u1（x，y，z）和u2（x，y，z）是同一诺伊曼外问题的解，函数u＝u1－u2在Γ上满足边界条件（n′为区域Ω′的单位外法线方向），在区域Ω′中为调和函数，在Ω′∪Γ上连续，且在无穷远处一致趋于0，因此可以证明u≡0。事实上，对于任何一点P∈Ω′，对任意给定的ε＞0，必可找到充分大的R，使在以R为半径的球面ΓR上恒有｜u｜≤ε，于是在由Γ及ΓR所围成的区域ΩR上函数u只能在球面r＝R上取到极值。这是因为按极值原理，u不能在ΩR内部取到极值，再按定理3.2，它又不能在Γ上取到极值，所以u的极值只能在球面r＝R上取到。因此，在ΩR上任何一点都有｜u｜≤ε，由于ε可以任意小，因此u（P）＝0，而由于P是Ω′中的任意点，因此在整个Ω′上，u≡0，由此得到解的唯一性。定理证毕。