光子统计学及其在光子学设计中的应用

光的微粒说必须把光通量表示成由电磁波“制导”的光子流。这种观点立刻带来了一个问题：光子流最终到达的统计学规律。

为了便于探讨这种理念，现在讨论光子到达一个光电探测器敏感表面的速率。

首先，注意到，在第一个位置产生光的发射过程，是按照概率规律发射光子的，所以是随机到达。光强度是一个可以计量的（在不变条件下）不变量，由式（1.7）知道，与到达的速率p有关，即I=phν。其中，p是在测量光强度I的时间范围内的平均到达速率，光子流中单个粒子的随机到达时间与该平均值存在着统计性偏离，要判断I的测量精度，就必须定量地确定这些量。

为了做到这一点，首先假设，当激励态原子自发落到低能态时会随机发射光子，因此，不可能准确预测激励态原子是否在一个限定的时间间隔内发射光子。除此之外，还需要知道，对于正常的光强度可以控制的光，光源材料只有很少一部分原子能够在可感时间内发射光子。例如，输出功率5mW的He-Ne激光器在1s内只有0.05%的原子会发射光子。

因此会出现下面情况：在一个限定的时间内，一个原子可能随机地发射或不发射光子，发射光子的概率非常小，这就是泊松（Poisson）统计原理的描述（即对非常小事件概率的二项式描述）（可参阅参考文献[1]）。

泊松统计是一个开展得非常好的研究课题，利用其结果可以解决光子的到达问题。

假设，有N个原子的集合，其中任何一个原子在时间τ内发射频率为ν的光子的概率是q，其中q<<1。

很清楚地，在时间τ内到达探测器上可能的最大光子数目是Nq，因此，也是在不同的时间间隔τ内探测到的光子的平均数目。根据泊松统计，在任何一段时间内探测到的实际数目都是变化的，在时间τ内探测到r个光子的概率由下式给出（参考文献[1]）：

因此，在时间τ内没有接收到光子的概率是exp（-Nq），接收到两个光子的概率是[（Nq）²/2！]exp（-Nq），以此类推。(www.xing528.com)

现在，很明显，探测器接收到的平均光学功率由下式给出：

式中，P_m为正常测量的量。因此，利用式（1.8）就可以将分布的平均量与测量的量联系起来，即

式中，B为探测器的带宽，B=1/τ。现在，需要将分布扩散定量化以便测量偏离平均值的量，若是泊松分布，可以由标准偏离量给出，就是方均根。到达速率的偏离量为

该偏离量是测量出的功率级上的一种“噪声”，因而形成一种噪声功率：

信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）为

这是一个重要结论。该结果给出光功率测量精度可以达到的基本限值。注意到，测量精度随（P_m/hν）1/2提高，因此，对于低速率到达的光子，其精度会趋于下降。如果在一个限定时间内有较少光子到达，该过程的“粒子”特性不可避免地会表现得更为明显，所以也会直接感觉到这一点。如果光学频率较高，其测量精度就比较差，因为这意味着每个光子具有更多能量，一定的总光能量对应着少数几个光子，“粒子”特性会再次明显。所以，如果有良好的SNR，就需要大功率和低频率。由近处发射机发射的无线电波通量很容易精确测量，而遥远星系发射的伽马（gamma）射线就不太容易精确测量了。

最后，应当记得，上面结论仅严格适用于概率q非常小的情况，对于大功率激光器（比如约10⁶W/m²）的极强发射，大部分原子将在有代表性的探测时间内发射光子，有时将这类光称为非泊松（或亚泊松）光。现在，对这类光的形成机理已经很清楚了。