如何制作控制图？

一般使用控制图来监控过程，发现存在特殊原因的地方。为了绘制控制图，需要收集过程输出结果的时间序列样本集，这个样本集被称作子群。对于每一个子群(即单个样本)，计算样本统计量，经常使用的统计量包括定性变量的样本比例、定量变量的平均数和限值。然后将这些数值按时间做散点图，并加入控制限值。最常见的控制图就是把感兴趣的目标统计量的3倍的标准差设定为控制限值。控制限值的一般公式是:

控制限值=过程平均值±3倍标准差

上控制限值=过程平均值+3倍标准差

下控制限值=过程平均值-3倍标准差

当控制限值设定后，就可以用控制图来观察各个时点数值的变化模式，判断是否存在控制限值之外的点。图8-7是两种不同的情形。

图8-7(a)中不同时点的数据看起来没有什么特殊，也没有超过3倍标准差的控制限值点，所以过程是稳定的，只是存在一些一般原因引起的变异。相反，图8-7(b)中有两个点落在3倍标准差的控制限值之外，需要判断是否特殊原因导致的变异。

如果控制图表明过程存在有落在控制限值以外的点或者存在某一趋势，那么这个过程被视为失控。导致一个过程失控的原因有两个: 一般原因和特殊原因。特殊原因导致的变异是不可预测的，不属于过程设计的部分。一旦过程被视为失控，就需要识别导致失控的变异的特殊原因。如果某一特殊原因对产品或服务的质量不利，那么就必须采取措施消除这种变异的来源。如果某一特殊原因对产品或服务的质量有利，就需要调整过程，把它设计到过程中去。这样，有利的特殊原因就变成一般原因，过程生产水平也就获得了提升。

如果控制图没有显示任何失控现象，那么这个过程就是在控制之下，简称受控过程。一个受控的过程只包括由于一般原因导致的变异。这些变异是由过程本身自带的，是可以预测的。如果过程是在控制之下，那么就需要考虑一般原因导致的变异是否足够小，是否满足消费者对产品或服务的要求。如果一般原因导致的变异很小满足消费者的要求，就可以持续地使用控制图来监控过程以确保不失控。如果一般原因导致的变异太大，就必须改变过程本身。

下面分别根据数据的类型不同介绍三种不同类型的控制图: P图、R图、图。

8.3.1 P图

针对定性变量或者离散变量我们一般采用P图。P图是将样本中我们感兴趣的某项指标所占的比例绘制散点图。样本中的一些项目经常按照符合或不符合设定的要求来分类。例如，一个订单要么完成，要么没完成，我们关注订单的完成率; 支票的处理要么准确，要么不准确，我们关注支票处理的准确率; 房间的清理要么顾客满意，要么不满意，我们关注清理满意的房间所占的比例; 货车路线的选择要么正确，要么不正确，我们关注货车选择正确的路线所占的比例等。P图一般被用来监控和分析从某一过程中选择的重复样本中不符合某一要求的比例(比如: 不合格率、次品率、出错率等)。

图8-7 控制图的两种情形

P图的控制限值的公式如下:

对于每个ni，有:;或者:。

式中:xi为子群i中不合格数量;ni为子群i的样本容量; pi为子群i中的不合格率，pi=;K为子群数量;为子群平均容量;为k个子群整体的不合格率。

任何负的LCL意味着LCL不存在。

［例8.1］表8-1是某酒店客房部某月的20天中不合格房间的数量和比例，根据这些数据绘制P图。

表8-1 顾客登记入住后不合格房间数量

解: 根据表8-1的数据得:

根据公式得:

图8-8显示了利用SPSS得到的表8-1的P图。从图8-8中可以看出过程处于受控状态，数据点分布在上下，所有点都在控制限值内。所以，改善房间整理过程就只能通过减少一般原因导致的变异。而要减少一般原因导致的变异就必须改变过程本身，这是管理者的责任。

图8-8 饭店房间不合格率P图

例8.1是子群的样本容量相等的情况。一般情况下，只要子群的样本容量ni都不超过的±25%，就可以运用公式进行计算P图的控制限值。反之，则需要使用其他公式计算。为了说明子群的样本容量不等的P图，用例8.2分析某产品的生产过程。

［例8.2］表8-2记录了某工厂在10天中每天生产某产品的数量和不合格数量，根据这些数据绘制P图。

表8-2 10天中某产品的生产数量和不合格数量

续表

解: 根据表8-2的数据得:

根据公式得:

所以:

根据表8-2的数据使用SPSS得到某产品生产过程数据的P图，如图8-9所示。从图8-9中可以看出第8天生产的87个产品有33个不合格品，超出了控制限值上限。管理者需要找出引起这个变异的特殊原因，并采取正确的措施。(www.xing528.com)

8.3.2 R图

针对连续变量我们一般采用R图或者图。常见的连续变量如长度、重量、时间、距离等。如果子群的样本容量等于10或更小，应该使用R图。如果样本容量大于10，那么应用其他方法来测度。因为在现实中子群样本容量为5或者更小是常见的情况，所以本节主要介绍R图。R图是观察过程的极差控制图，其控制限值的计算公式如下:

图8-9 产品不合格率P图

式中:Ri为子群中的最大值与最小值之差;;d2，d3的值与样本量有关，可以从本章的附录2中查到。

上面的公式可以简化为:

式中:;D3，D4的值与样本量有关，可以从本章的附录2中查到。

［例8.3］表8-3是某银行的午饭时间顾客排队等候出纳服务的时间。以4个顾客为一个子群，按分钟计算他们从排队到开始接受服务的时间，10天的数据如表8-3所示。请绘制R图。

表8-3 顾客等候时间表

续表

解: 根据表8-3的数据得:

对于n=4，从本章附录2中查得D3=0，D4=2.282，利用公式得:

LCL并不存在。

对于顾客等候时间问题，用SPSS绘制的R图如图8-10所示。图中没有显示任何超出控制限值的点或者趋势，说明该过程处于受控状态，变异是由一般原因导致的。

图8-10 顾客等候时间的R图

8.3.3 图

图是观察过程均值的控制图，使用k个连续时间段中收集的k个子群，每个子群的容量为n。对每一个子群计算一个均值，并在控制图中将标出。要计算均值的控制限值，首先需要计算子群均值的均值(记为)，并估计该均值的标准差(记为)。图的控制限值的计算公式如下:

式中:;为第i个子群的样本均值;Ri为第i个子群的样本极差; k为子群数量。

根据，可以简化上面的公式得:

［例8.4］根据表8-3的数据计算图的控制限值并绘制图。

解: 根据表8-3得到表8-4的相关数据如下:

表8-4 顾客等候时间表

根据表8-4得:

所以:

查本章附录2得当n=4时，A2=0.729，利用公式得:

UCL=6.005+0.729×3.16=8.31

LCL=6.005-0.729×3.16=3.70

用SPSS绘制的顾客等候时间的图如图8-11所示。

图8-11 顾客等候时间图